Identifique cada série a seguir como série de encaixe ou série geométrica e calcule o valor da sua soma, nos casos em que a série convergir.
(i) \sum_{n=1}^{\infty}\left(3^{n}-3^{n+1}\right).

Passo 1

O enunciado dá a série
\sum_{n=1}^{\infty}\left(3^{n}-3^{n+1}\right)
e pede que eu a identifique como série de encaixe (telescópica) ou série geométrica e, quando convergir, calcule a soma. Informação relevante: o termo geral é \;3^{n}-3^{n+1}\; para n=1,2,\dots. Nada mais é pedido além da identificação e da soma (se houver).

Passo 2

Vamos manipular o termo geral para enxergá-lo melhor. Faço uma fatoração simples:
3^{n}-3^{n+1}=3^{n}\bigl(1-3\bigr)=3^{n}\cdot(-2)=-2\cdot 3^{n}.
Isso mostra duas coisas úteis: (a) cada termo é proporcional a 3^{n}, então a expressão também pode ser vista como uma série geométrica com razão \;3\; (pois 3^{n+1}/3^{n}=3); (b) porém, a forma original \;3^{n}-3^{n+1}\; é exatamente de um tipo clássico chamado série de encaixe (telescópica), porque dá para escrever o termo como \;a_n-a_{n+1}\; com a_n=3^n. Vou escolher resolver como série de encaixe porque ela telescopa de forma muito direta e a soma parcial fica simples de escrever.

Passo 3

Pequena aula sobre séries de encaixe (telescópicas): se os termos de uma série podem ser escritos como \;a_n-a_{n+1}\;, então a soma parcial até N é
S_{N}=\sum_{n=1}^{N}\left(a_n-a_{n+1}\right)=a_1-a_{2}+a_2-a_{3}+\cdots+a_{N}-a_{N+1}.
Note que todos os termos intermediários a_2,a_3,\dots,a_N cancelam por pares, sobrando apenas
S_{N}=a_1-a_{N+1}.
Esse cancelamento é o que chamamos de telescopagem. Para concluir se a série infinita converge, avaliamos o limite \lim_{N\to\infty}S_N.

Passo 4

Aplicando isso ao nosso caso, tomo a_n=3^{n}. Então a soma parcial até N é
S_{N}=\sum_{n=1}^{N}\left(3^{n}-3^{n+1}\right)=3^{1}-3^{N+1}=3-3^{N+1}.
Para conferir concretamente o cancelamento, escrevo os primeiros termos:
(3-9)+(9-27)+(27-81)+\cdots = 3 - 3^{N+1},
o que concorda com a fórmula obtida.

Passo 5

Agora tomo o limite quando N\to\infty. Como \;3^{N+1}\to+\infty\;, temos
\lim_{N\to\infty}S_{N}=\lim_{N\to\infty}\bigl(3-3^{N+1}\bigr)=-\infty.
Logo a soma parcial diverge para -\infty, isto é, a série não converge para um número finito. (Comentário alternativo: visto como série geométrica com razão |r|=3>1, a série \sum -2\cdot 3^{n} também diverge, pois uma série geométrica \sum ar^{n} só converge se |r|<1.)

Resposta

Série de encaixe (telescópica). A série diverge, \sum_{n=1}^{\infty}\left(3^{n}-3^{n+1}\right)=-\infty.

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