Identifique cada série a seguir como série de encaixe ou série geométrica e calcule o valor da sua soma, nos casos em que a série convergir.
(i)
.
(i)
Passo 1
O enunciado dá a série
e pede que eu a identifique como série de encaixe (telescópica) ou série geométrica e, quando convergir, calcule a soma. Informação relevante: o termo geral é
para
. Nada mais é pedido além da identificação e da soma (se houver).
Passo 2
Vamos manipular o termo geral para enxergá-lo melhor. Faço uma fatoração simples:
Isso mostra duas coisas úteis: (a) cada termo é proporcional a
, então a expressão também pode ser vista como uma série geométrica com razão
(pois
); (b) porém, a forma original
é exatamente de um tipo clássico chamado série de encaixe (telescópica), porque dá para escrever o termo como
com
. Vou escolher resolver como série de encaixe porque ela telescopa de forma muito direta e a soma parcial fica simples de escrever.
Passo 3
Pequena aula sobre séries de encaixe (telescópicas): se os termos de uma série podem ser escritos como
, então a soma parcial até
é
Note que todos os termos intermediários
cancelam por pares, sobrando apenas
Esse cancelamento é o que chamamos de telescopagem. Para concluir se a série infinita converge, avaliamos o limite
.
Passo 4
Aplicando isso ao nosso caso, tomo
. Então a soma parcial até
é
Para conferir concretamente o cancelamento, escrevo os primeiros termos:
o que concorda com a fórmula obtida.
Passo 5
Agora tomo o limite quando
. Como
, temos
Logo a soma parcial diverge para
, isto é, a série não converge para um número finito. (Comentário alternativo: visto como série geométrica com razão
, a série
também diverge, pois uma série geométrica
só converge se
.)
Resposta
Série de encaixe (telescópica). A série diverge,
.