Calcule as integral dupla.
\iint_{R} \sin (x+y) d A, \quad R=\{(x, y) \mid 0 \leq x \leq \pi / 2,0 \leq y \leq \pi / 2\}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{R} \sin(x+y)\,dA,
onde a região R é o quadrado
R=\{(x,y)\mid 0\le x\le \tfrac{\pi}{2},\;0\le y\le \tfrac{\pi}{2}\}.
Informações dadas:
\text{função: }f(x,y)=\sin(x+y), \qquad \text{domínio: }x\in\left[0,\tfrac{\pi}{2}\right],\;y\in\left[0,\tfrac{\pi}{2}\right].çãí
Pergunta: calcular o valor numérico da integral dupla acima.

Passo 2

Escolha do método e justificativa (sem resolver ainda).
Vamos usar a regra de Fubini (ou integração iterada) para transformar a integral dupla numa integral iterada simples, porque f(x,y)=\sin(x+y) é contínua em R (soma e seno de funções contínuas é contínua). O Teorema de Fubini nos diz, para um retângulo R=[a,b]\times[c,d] e f contínua,
\iint_{R} f(x,y)\,dA = \int_{a}^{b}\left(\int_{c}^{d} f(x,y)\,dy\right)dx = \int_{c}^{d}\left(\int_{a}^{b} f(x,y)\,dx\right)dy.
Aqui a=0, b=\tfrac{\pi}{2}, c=0, d=\tfrac{\pi}{2}. Vou integrar primeiro em y (mantendo x fixo) e depois em x.

Passo 3

Calcular a integral interna em y:
\int_{0}^{\tfrac{\pi}{2}} \sin(x+y)\,dy.
Para integrar em y tratamos x como constante. Uma primitiva de \sin(x+y) em relação a y é -\cos(x+y), porque ao derivar -\cos(x+y) em y obtemos
\frac{d}{dy}\big(-\cos(x+y)\big) = -\big(-\sin(x+y)\big)\cdot 1 = \sin(x+y).
Portanto,
\int_{0}^{\tfrac{\pi}{2}} \sin(x+y)\,dy = \big[-\cos(x+y)\big]_{y=0}^{y=\tfrac{\pi}{2}} = -\cos\!\big(x+\tfrac{\pi}{2}\big) + \cos(x).
Agora usamos a identidade trigonométrica
\cos\!\big(x+\tfrac{\pi}{2}\big)=\cos x\cos\tfrac{\pi}{2}-\sin x\sin\tfrac{\pi}{2}=0-\sin x=-\sin x.
Substituindo:
-\cos\!\big(x+\tfrac{\pi}{2}\big)+\cos(x) = -(-\sin x)+\cos x = \sin x + \cos x.
Logo a integral interna é \sin x+\cos x.

Passo 4

Agora integramos em x no intervalo [0,\tfrac{\pi}{2}]:
\iint_{R}\sin(x+y)\,dA = \int_{0}^{\tfrac{\pi}{2}}\big(\sin x+\cos x\big)\,dx.
Calculamos primitivas: uma primitiva de \sin x é -\cos x e de \cos x é \sin x. Assim uma primitiva de \sin x+\cos x é -\cos x+\sin x. Avaliando:
\big[-\cos x+\sin x\big]_{0}^{\tfrac{\pi}{2}} = \big(-\cos\tfrac{\pi}{2}+\sin\tfrac{\pi}{2}\big)-\big(-\cos 0+\sin 0\big).
Conhecendo valores básicos:
\cos\tfrac{\pi}{2}=0,\quad \sin\tfrac{\pi}{2}=1,\quad \cos 0=1,\quad \sin 0=0,
temos
(-0+1)-(-1+0)=1-(-1)=2.

Resposta

2

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