Calcule as integral dupla.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
onde a região
é o quadrado
Informações dadas:
Pergunta: calcular o valor numérico da integral dupla acima.
Passo 2
Escolha do método e justificativa (sem resolver ainda).
Vamos usar a regra de Fubini (ou integração iterada) para transformar a integral dupla numa integral iterada simples, porque é contínua em
(soma e seno de funções contínuas é contínua). O Teorema de Fubini nos diz, para um retângulo
e
contínua,
Vamos usar a regra de Fubini (ou integração iterada) para transformar a integral dupla numa integral iterada simples, porque
Aqui
,
,
,
. Vou integrar primeiro em
(mantendo
fixo) e depois em
.
Passo 3
Calcular a integral interna em
:
Para integrar em
tratamos
como constante. Uma primitiva de
em relação a
é
, porque ao derivar
em
obtemos
Portanto,
Agora usamos a identidade trigonométrica
Substituindo:
Logo a integral interna é
.
Passo 4
Agora integramos em
no intervalo
:
Calculamos primitivas: uma primitiva de
é
e de
é
. Assim uma primitiva de
é
. Avaliando:
Conhecendo valores básicos:
temos