Determine se W é ou não subespaço vetorial de C([-a, a]).
W=\{f \in C([-a, a]) ; f(-x)=f(x) \forall x \in[-a, a]\} \quad (funções pares)

Passo 1

O enunciado nos dá o espaço vetorial C([-a,a]) das funções contínuas de [-a,a] em \mathbb{R} e o subconjunto
W = \bigl\{\,f\in C([-a,a]) \mid f(-x)=f(x)\\ \forall x\in[-a,a]\bigr\}
(formas pares). Para mostrar que W é subespaço vetorial de C([-a,a]), vamos verificar:
  1. 0\in W.
  2. Se f,g\in W então f+g\in W.
  3. Se f\in W e \alpha\in\mathbb{R} então \alpha f\in W.

Passo 2

Verificamos que a função zero 0\colon[-a,a]\to\mathbb{R} definida por 0(x)=0 é par, pois
0(-x)=0=0(x)\quad\forall x\in[-a,a].
Logo 0\in W.

Passo 3

Sejam f,g\in W. Então para todo x\in[-a,a] temos
(f+g)(-x)=f(-x)+g(-x)=f(x)+g(x)=(f+g)(x).
Logo f+g é par e f+g\in W.

Passo 4

Seja f\in W e \alpha\in\mathbb{R}. Então para todo x\in[-a,a] vale
(\alpha f)(-x)=\alpha\,f(-x)=\alpha\,f(x)=(\alpha f)(x).
Logo \alpha f é par e \alpha f\in W.

Resposta

W é subespaço vetorial de C([-a,a]).

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