Considere os seguintes subespaços vetoriais de \mathbb{R}^{4}
U=\left\{\left(u_{1}, u_{2}, u_{3}, u_{4}\right) \in \mathbb{R}^{4} ; u_{1}+u_{2}=0\right. e \left.u_{3}-u_{4}=0\right\} e
W=\left\{\left(w_{1}, w_{2}, w_{3}, w_{4}\right) \in \mathbb{R}^{4} ; w_{1}-w_{2}-w_{3}+w_{4}=0\right\}
Determine U \cap W.

Passo 1

O enunciado nos dá dois subespaços de \mathbb{R}^4:
U=\{(u_1,u_2,u_3,u_4)\in\mathbb{R}^4 \mid u_1+u_2=0,\;u_3-u_4=0\} e
W=\{(w_1,w_2,w_3,w_4)\in\mathbb{R}^4 \mid w_1-w_2-w_3+w_4=0\}.
Queremos encontrar U\cap W, ou seja, os vetores que satisfazem simultaneamente essas três equalidades.

Passo 2

Primeiro, parametrize genericamente um vetor de U. Das condições
u_1+u_2=0,\quad u_3-u_4=0
segue que podemos escrever
u_2=-u_1,\quad u_4=u_3.
Chamando t=u_1 e s=u_3, um vetor genérico de U é
(u_1,u_2,u_3,u_4)=(t,\,-t,\;s,\;s),
com t,s\in\mathbb{R}.

Passo 3

Agora impomos a condição de W nesse vetor de U. A equação de W é
w_1-w_2-w_3+w_4=0.
Substituindo (w_1,w_2,w_3,w_4)=(t,-t,s,s), obtemos
t - (-t) - s + s = 0 \;\Longrightarrow\; 2t = 0 \;\Longrightarrow\; t = 0.

Passo 4

Como t=0, segue u_1=u_2=0. O parâmetro s permanece livre, e u_3=u_4=s. Logo todo vetor em U\cap W tem a forma
(0,0,s,s),\quad s\in\mathbb{R}.
Isto mostra que
U\cap W = \{(0,0,s,s)\mid s\in\mathbb{R}\}
é uma reta em \mathbb{R}^4, gerada por (0,0,1,1).

Resposta

U\cap W = \{(0,0,s,s)\mid s\in\mathbb{R}\} = \operatorname{span}\{(0,0,1,1)\}.

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