Seja o conjunto C[a, b]=\{f:[a, b] \rightarrow \mathbb{R} ; f função contínua \}, com as operações de adição e multiplicação por escalar, dadas por
(f+g)(t)=f(t)+g(t) \quad \text { e } \quad(\alpha f)(t)=\alpha f(t), \quad \forall t \in[a, b]
onde f, g \in C[a, b] e \alpha \in \mathbb{R}. Verifique que C[a, b] é um espaço vetorial.

Passo 1

O enunciado define
C[a,b]=\{\,f:[a,b]\to\mathbb{R}\mid f\text{ é contínua}\}éí
com as operações ponto a ponto
(f+g)(t)=f(t)+g(t), \quad (\alpha f)(t)=\alpha\,f(t).
O que queremos provar é que C[a,b], munido dessas operações, satisfaz todos os axiomas de espaço vetorial sobre \mathbb{R}.

Passo 2

Fechamento sob soma e multiplicação escalar:
  • Se f e g são contínuas em [a,b], então f+g é contínua em cada t pois soma de funções contínuas é contínua. Logo f+g\in C[a,b].
  • Se f\in C[a,b] e \alpha\in\mathbb{R}, então \alpha f é contínua em cada t pois produto de contínua por escalar é contínuo. Logo \alpha f\in C[a,b].

Passo 3

Propriedades da soma em C[a,b]:
  1. Comutatividade: para todo t\in[a,b],
(f+g)(t)=f(t)+g(t)=g(t)+f(t)=(g+f)(t).
  1. Associatividade: para f,g,h\in C[a,b],
\bigl(f+(g+h)\bigr)(t) =f(t)+\bigl(g(t)+h(t)\bigr) =\bigl(f(t)+g(t)\bigr)+h(t) =\bigl((f+g)+h\bigr)(t).
  1. Elemento neutro: a função zero definida por 0(t)=0 é contínua e
(f+0)(t)=f(t)+0=f(t),
logo f+0=f.
4. Inverso aditivo: a função -f dada por (-f)(t)=-f(t) é contínua e
\bigl(f+(-f)\bigr)(t)=f(t)-f(t)=0,
logo f+(-f)=0.

Passo 4

Propriedades envolvendo escalares:
  1. Distributividade em relação à soma de vetores:
\bigl(\alpha(f+g)\bigr)(t) =\alpha\bigl(f(t)+g(t)\bigr) =\alpha f(t)+\alpha g(t) =\bigl(\alpha f+\alpha g\bigr)(t).
  1. Distributividade em relação à soma de escalares:
\bigl((\alpha+\beta)f\bigr)(t) =(\alpha+\beta)f(t) =\alpha f(t)+\beta f(t) =\bigl(\alpha f+\beta f\bigr)(t).
  1. Compatibilidade de escalares:
\bigl(\alpha(\beta f)\bigr)(t) =\alpha\bigl(\beta f(t)\bigr) =(\alpha\beta)f(t) =\bigl((\alpha\beta)f\bigr)(t).
  1. Elemento neutro escalar:
(1\cdot f)(t)=1\cdot f(t)=f(t),
logo 1\cdot f=f.

Resposta

Portanto, C[a,b] satisfaz todos os axiomas de espaço vetorial sobre \mathbb{R} e é um espaço vetorial.

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