Seja o conjunto
função contínua
, com as operações de adição e multiplicação por escalar, dadas por
onde
e
. Verifique que
é um espaço vetorial.
Passo 1
O enunciado define
com as operações ponto a ponto
O que queremos provar é que
, munido dessas operações, satisfaz todos os axiomas de espaço vetorial sobre
.
Passo 2
Fechamento sob soma e multiplicação escalar:
- Se
e são contínuas em , então é contínua em cada pois soma de funções contínuas é contínua. Logo . - Se
e , então é contínua em cada pois produto de contínua por escalar é contínuo. Logo .
Passo 3
Propriedades da soma em
:
- Comutatividade: para todo
,
- Associatividade: para
,
- Elemento neutro: a função zero definida por
é contínua e
logo
.
4. Inverso aditivo: a função dada por
é contínua e
4. Inverso aditivo: a função
logo
.
Passo 4
Propriedades envolvendo escalares:
- Distributividade em relação à soma de vetores:
- Distributividade em relação à soma de escalares:
- Compatibilidade de escalares:
- Elemento neutro escalar:
logo
.
Resposta
Portanto,
satisfaz todos os axiomas de espaço vetorial sobre
e é um espaço vetorial.