Determine whether each function
given below is even, odd, or neither even nor odd.
.
Passo 1
Vou clarificar o que o enunciado dá e o que pede. O enunciado apresenta a função
. Vou interpretar que a variável independente é a mesma nas duas notações, ou seja, considerar a função como
. O que se pede: determinar se
é par, ímpar ou nenhuma das duas (isto é, nem par nem ímpar).
Passo 2
Lembrete didático sobre definição de paridade (útil para a prova):
- Uma função
é par se, para todo no domínio, valer . - Uma função
é ímpar se, para todo no domínio, valer .
Na prática, para testar paridade basta calculare comparar com . Se for igual, é par; se for o negativo, é ímpar; se nada disso acontecer, é nenhuma das duas.
Passo 3
Calcular
substituindo
no lugar de
e, em seguida, reorganizar os termos para comparar com a expressão original de
:
Comparando com a expressão original:
Passo 4
Como os dois resultados coincidem para todo
do domínio, temos
para todo
. Pelas definições do Passo 2, isso significa que
é uma função par.
Passo 5
Observação útil para fixar o conceito: a função dada é exatamente a função hiperbólica cosseno,
, e é bem conhecido que
. Um exemplo contrastante é
, que satisfaz
(ou seja, ímpar). Dica de prova: na prova, ao ver combinações simétricas
, já desconfie de par/ímpar — o sinal de soma costuma dar par e o de diferença costuma dar ímpar.
Resposta
par