Determine whether each function x given below is even, odd, or neither even nor odd.
x(t)=\frac{1}{2}\left[e^{r}+e^{-r}\right].

Passo 1

Vou clarificar o que o enunciado dá e o que pede. O enunciado apresenta a função x(t)=\frac{1}{2}\left[e^{r}+e^{-r}\right]. Vou interpretar que a variável independente é a mesma nas duas notações, ou seja, considerar a função como x(t)=\frac{1}{2}\left[e^{t}+e^{-t}\right]. O que se pede: determinar se x é par, ímpar ou nenhuma das duas (isto é, nem par nem ímpar).

Passo 2

Lembrete didático sobre definição de paridade (útil para a prova):
  • Uma função f é par se, para todo t no domínio, valer f(-t)=f(t).
  • Uma função f é ímpar se, para todo t no domínio, valer f(-t)=-f(t).
    Na prática, para testar paridade basta calcular f(-t) e comparar com f(t). Se for igual, é par; se for o negativo, é ímpar; se nada disso acontecer, é nenhuma das duas.

Passo 3

Calcular x(-t) substituindo -t no lugar de t e, em seguida, reorganizar os termos para comparar com a expressão original de x(t):
x(-t)=\frac{1}{2}\left[e^{-t}+e^{t}\right] = \frac{1}{2}\left[e^{t}+e^{-t}\right].
Comparando com a expressão original:
x(t)=\frac{1}{2}\left[e^{t}+e^{-t}\right].

Passo 4

Como os dois resultados coincidem para todo t do domínio, temos x(-t)=x(t) para todo t. Pelas definições do Passo 2, isso significa que x é uma função par.

Passo 5

Observação útil para fixar o conceito: a função dada é exatamente a função hiperbólica cosseno, \operatorname{cosh} t=\dfrac{e^{t}+e^{-t}}{2}, e é bem conhecido que \operatorname{cosh}(-t)=\operatorname{cosh} t. Um exemplo contrastante é \operatorname{sinh} t=\dfrac{e^{t}-e^{-t}}{2}, que satisfaz \operatorname{sinh}(-t)=-\operatorname{sinh} t (ou seja, ímpar). Dica de prova: na prova, ao ver combinações simétricas e^{t}\pm e^{-t}, já desconfie de par/ímpar — o sinal de soma costuma dar par e o de diferença costuma dar ímpar.

Resposta

par

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