Determine whether each function
given below is even, odd, or neither even nor odd.
;
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
e pede para determinar se essa função é par, ímpar ou nenhuma das duas.
Informações fornecidas: a expressão analítica da função é .
O que é pedido: classificar a função como “par”, “ímpar” ou “nem par nem ímpar”.
Informações fornecidas: a expressão analítica da função é
O que é pedido: classificar a função como “par”, “ímpar” ou “nem par nem ímpar”.
Passo 2
Definição de função par (explicada devagar): uma função
é dita par se, para todo
no domínio, valer
Isto significa que, ao trocar
por
, o valor da função não muda. Geometricamente, o gráfico é simétrico em relação ao eixo vertical (eixo
).
Passo 3
Definição de função ímpar (explicada devagar): uma função
é dita ímpar se, para todo
no domínio, valer
Isto significa que, ao trocar
por
, o valor da função muda de sinal. Geometricamente, o gráfico é simétrico em relação à origem (rotação de
em torno da origem).
Passo 4
Estratégia de teste (passo a passo que dá para fazer na prova): calcular
e comparar com
e com
. Se
então é par; se
então é ímpar; se nenhuma das duas igualdades vale para todo
, é nenhuma das duas.
Passo 5
Calcular
. Usar a definição da função e a propriedade de potências:
Para potências ímpares vale a identidade
. Aplicando aqui:
Um exemplo numérico rápido para fixar:
e isso é igual a
.
Passo 6
Comparar com
e com
. Temos
e obtivemos
. Logo
Isso é exatamente a condição da função ímpar.
Passo 7
Interpretação final e dica de prova: como
para todo
do domínio (aqui todo
), a função
é ímpar. Dica prática: polinômios que têm apenas potências ímpares (por exemplo
) são ímpares; os que têm apenas potências pares (por exemplo
) são pares; misturar termos pares e ímpares normalmente dá “nem par nem ímpar”.
Resposta
Ímpar