Determine whether each function x given below is even, odd, or neither even nor odd.
x(t)=t^{3};

Passo 1

O enunciado dá a função x definida por x(t)=t^{3} e pede para determinar se essa função é par, ímpar ou nenhuma das duas.
Informações fornecidas: a expressão analítica da função é \,x(t)=t^{3}\,.
O que é pedido: classificar a função como “par”, “ímpar” ou “nem par nem ímpar”.

Passo 2

Definição de função par (explicada devagar): uma função f é dita par se, para todo t no domínio, valer
f(-t)=f(t).
Isto significa que, ao trocar t por -t, o valor da função não muda. Geometricamente, o gráfico é simétrico em relação ao eixo vertical (eixo t=0).

Passo 3

Definição de função ímpar (explicada devagar): uma função f é dita ímpar se, para todo t no domínio, valer
f(-t)=-f(t).
Isto significa que, ao trocar t por -t, o valor da função muda de sinal. Geometricamente, o gráfico é simétrico em relação à origem (rotação de 180^\circ em torno da origem).

Passo 4

Estratégia de teste (passo a passo que dá para fazer na prova): calcular x(-t) e comparar com x(t) e com -x(t). Se x(-t)=x(t) então é par; se x(-t)=-x(t) então é ímpar; se nenhuma das duas igualdades vale para todo t, é nenhuma das duas.

Passo 5

Calcular x(-t). Usar a definição da função e a propriedade de potências:
x(-t)=(-t)^{3}.
Para potências ímpares vale a identidade ( -a)^{\text{ímpar}} = -a^{\text{ímpar}}íí. Aplicando aqui:
(-t)^{3}=-(t^{3}).
Um exemplo numérico rápido para fixar: (-2)^{3}=-8 e isso é igual a - (2^{3}).

Passo 6

Comparar com x(t) e com -x(t). Temos x(t)=t^{3} e obtivemos x(-t)=-(t^{3}). Logo
x(-t)=-x(t).
Isso é exatamente a condição da função ímpar.

Passo 7

Interpretação final e dica de prova: como x(-t)=-x(t) para todo t do domínio (aqui todo \mathbb{R}), a função \,x(t)=t^{3}\, é ímpar. Dica prática: polinômios que têm apenas potências ímpares (por exemplo t, t^{3}, t^{5}) são ímpares; os que têm apenas potências pares (por exemplo 1, t^{2}, t^{4}) são pares; misturar termos pares e ímpares normalmente dá “nem par nem ímpar”.

Resposta

Ímpar

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