Determine whether each function x given below is even, odd, or neither even nor odd. x(t)=\left|t^{3}\right|;
Passo 1
O enunciado dá a função
x(t)=\left|t^{3}\right|
e pede para determinar se ela é par, ímpar ou nenhuma das duas coisas.
Informações relevantes que o enunciado fornece:
A expressão da função é x(t)=\left|t^{3}\right|.
Pressupõe-se domínio \,t\in\mathbb{R}.
O que se pede: classificar a função como par, ímpar ou nem par nem ímpar.
Passo 2
Vou lembrar as definições de forma clara (isso é essencial para a prova):
Uma função f é par se, para todo t no domínio, vale
f(-t)=f(t).
Geometricamente, o gráfico é simétrico em relação ao eixo vertical y.
Uma função f é ímpar se, para todo t no domínio, vale
f(-t)=-f(t).
Geometricamente, o gráfico tem simetria central em relação à origem.
Também é útil lembrar uma propriedade básica do valor absoluto: para qualquer número real u vale
| -u| = |u|.
Isso decorre da definição do módulo: o módulo só guarda a distância até zero, sem sinal.
Passo 3
Calcular x(-t) aplicando a definição da função:
x(-t)=\left|(-t)^{3}\right|.
Desenvolvendo a potência, (-t)^{3} = -\,t^{3}. Então
x(-t)=\left|-\,t^{3}\right|.
Passo 4
Usar a propriedade do valor absoluto |-u|=|u| com u=t^{3}:
x(-t)=\left|-\,t^{3}\right|=\left|t^{3}\right|.
Compare isso com x(t): por definição x(t)=\left|t^{3}\right|. Logo, para todo t vale
x(-t)=x(t).
Isto é exatamente a condição da definição de função par.
Passo 5
Verificação numérica rápida (para intuição):
Para t=1: x(1)=|1^{3}|=1.
Para t=-1: x(-1)=|(-1)^{3}|=|-1|=1.
Repare que x(-1)=x(1), reforçando que a função é simétrica. Se fosse ímpar, teríamos x(-1)=-x(1), o que não acontece (porque -1\neq1).