Determine whether each function x given below is even, odd, or neither even nor odd.
x(t)=\left|t^{3}\right|;

Passo 1

O enunciado dá a função
x(t)=\left|t^{3}\right|
e pede para determinar se ela é par, ímpar ou nenhuma das duas coisas.
Informações relevantes que o enunciado fornece:
  • A expressão da função é x(t)=\left|t^{3}\right|.
  • Pressupõe-se domínio \,t\in\mathbb{R}.
    O que se pede: classificar a função como par, ímpar ou nem par nem ímpar.

Passo 2

Vou lembrar as definições de forma clara (isso é essencial para a prova):
  • Uma função f é par se, para todo t no domínio, vale
f(-t)=f(t).
Geometricamente, o gráfico é simétrico em relação ao eixo vertical y.
  • Uma função f é ímpar se, para todo t no domínio, vale
f(-t)=-f(t).
Geometricamente, o gráfico tem simetria central em relação à origem.
Também é útil lembrar uma propriedade básica do valor absoluto: para qualquer número real u vale
| -u| = |u|.
Isso decorre da definição do módulo: o módulo só guarda a distância até zero, sem sinal.

Passo 3

Calcular x(-t) aplicando a definição da função:
x(-t)=\left|(-t)^{3}\right|.
Desenvolvendo a potência, (-t)^{3} = -\,t^{3}. Então
x(-t)=\left|-\,t^{3}\right|.

Passo 4

Usar a propriedade do valor absoluto |-u|=|u| com u=t^{3}:
x(-t)=\left|-\,t^{3}\right|=\left|t^{3}\right|.
Compare isso com x(t): por definição x(t)=\left|t^{3}\right|. Logo, para todo t vale
x(-t)=x(t).
Isto é exatamente a condição da definição de função par.

Passo 5

Verificação numérica rápida (para intuição):
  • Para t=1: x(1)=|1^{3}|=1.
  • Para t=-1: x(-1)=|(-1)^{3}|=|-1|=1.
    Repare que x(-1)=x(1), reforçando que a função é simétrica. Se fosse ímpar, teríamos x(-1)=-x(1), o que não acontece (porque -1\neq1).

Resposta

Par

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