Determine whether each sequence x given below is even, odd, or neither even nor odd.
x(n)=n^{3}|n|

Passo 1

O enunciado dá a sequência x definida por
x(n)=n^{3}|n|
e pede para determinar se a sequência é par, ímpar ou nenhuma das duas coisas. Considera-se aqui que o domínio da sequência é n\in\mathbb{Z} (todos os inteiros), que é o caso padrão para sequências indexadas por n.

Passo 2

Definições claras (importantíssimo para a prova):
  • Uma sequência x é par se, para todo n\in\mathbb{Z},
x(-n)=x(n).
  • Uma sequência x é ímpar se, para todo n\in\mathbb{Z},
x(-n)=-x(n).
  • Se nenhuma das igualdades acima vale para todos os n, diz-se que a sequência é nem par nem ímpar.
Explicando em palavras: par significa simetria em relação ao índice zero (mesmo valor para n e -n); ímpar significa anti-simetria (o valor em -n é o negativo do valor em n). Essas são as ferramentas que vamos usar.

Passo 3

Calcular x(-n) explicitamente, usando propriedades básicas de potência e valor absoluto:
x(-n)=(-n)^{3}\,|{-n}|.
Duas observações úteis:
  • Para qualquer inteiro n, (-n)^{3}=-n^{3} porque (-n) elevado a uma potência ímpar dá o negativo da potência.
  • Para qualquer inteiro n, |-n|=|n| porque o valor absoluto ignora o sinal.
Usando essas propriedades,
x(-n)=(-n)^{3}\,|{-n}| = (-n^{3})\,|n| = -\,n^{3}|n|.

Passo 4

Compare x(-n) com x(n). Pela definição da sequência,
x(n)=n^{3}|n|.
E pelo cálculo anterior,
x(-n)=-\,n^{3}|n| = -\,x(n).
Como essa igualdade x(-n)=-x(n) vale para todo n\in\mathbb{Z}, a sequência satisfaz precisamente a definição de sequência ímpar.
Para dar uma checagem numérica rápida (apenas para ganhar confiança): tome n=2. Então x(2)=2^{3}|2|=8\cdot2=16. Para n=-2, x(-2)=(-2)^{3}|-2|=-8\cdot2=-16, que é -x(2). Isso confirma o resultado concreto.

Resposta

A sequência x(n)=n^{3}|n| é ímpar.

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