Determine whether each sequence
given below is even, odd, or neither even nor odd.
Passo 1
O enunciado dá a sequência
definida por
e pede para determinar se a sequência é par, ímpar ou nenhuma das duas coisas. Considera-se aqui que o domínio da sequência é
(todos os inteiros), que é o caso padrão para sequências indexadas por
.
Passo 2
Definições claras (importantíssimo para a prova):
- Uma sequência
é par se, para todo ,
- Uma sequência
é ímpar se, para todo ,
- Se nenhuma das igualdades acima vale para todos os
, diz-se que a sequência é nem par nem ímpar.
Explicando em palavras: par significa simetria em relação ao índice zero (mesmo valor para
e
); ímpar significa anti-simetria (o valor em
é o negativo do valor em
). Essas são as ferramentas que vamos usar.
Passo 3
Calcular
explicitamente, usando propriedades básicas de potência e valor absoluto:
Duas observações úteis:
- Para qualquer inteiro
, porque elevado a uma potência ímpar dá o negativo da potência. - Para qualquer inteiro
, porque o valor absoluto ignora o sinal.
Usando essas propriedades,
Passo 4
Compare
com
. Pela definição da sequência,
E pelo cálculo anterior,
Como essa igualdade
vale para todo
, a sequência satisfaz precisamente a definição de sequência ímpar.
Para dar uma checagem numérica rápida (apenas para ganhar confiança): tome
. Então
. Para
,
, que é
. Isso confirma o resultado concreto.
Resposta
A sequência
é ímpar.