(
) De um funil cônico a água escoa a uma velocidade de
. Se o raio da base do funil é de 12 cm e a altura é de 24 cm , calcule a velocidade com a qual o nível de água está descendo, quando o nível estiver a 6 cm do topo.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- O funil é um cone com raio da base
e altura total . - A água escoa do funil com taxa de volume igual a
. Como o volume de água está diminuindo, usarei . - O enunciado pede a velocidade com que o nível de água está descendo quando o nível estiver a
do topo (abertura) do funil. - “A
do topo” significa que a superfície livre da água está a abaixo da abertura. Como a altura total do cone é , a altura da coluna de água medida a partir do vértice (ápice) do cone é
- “A
- Objetivo: calcular
(a taxa de variação da altura da água medida a partir do vértice) no instante em que .
Passo 2
Definir variáveis e relação geométrica entre raio da superfície da água e sua altura.
- Seja
a altura da coluna de água medida desde o vértice do cone até a superfície livre (unidade: ). - Seja
o raio da superfície livre da água (unidade: ). - Pelo desenho do cone, os triângulos formado pelo eixo e pelas geratrizes são semelhantes. Assim vale a proporção
- Logo
Explicação rápida: triângulos semelhantes significam que razão entre correspondentes lados é constante; aqui a razão raio/altura é a mesma para qualquer seção do cone.
Passo 3
Escrever a fórmula do volume da parte cônica de água e substituir
em função de
.
- Volume de um cone de altura
e raio da base é
- Substituindo
:
Aqui cada símbolo significa:
é o volume da água (
),
é a altura da coluna de água (
),
é a constante matemática.
Passo 4
Derivar a relação volume-altura em relação ao tempo (diferenciação implícita).
- Derivando
em relação a (tempo):
- Isto usa a regra da cadeia: derivada de
em relação a é .
Passo 5
Isolar
e substituir os valores conhecidos (
e
).
- Isolando
:
- Substituindo
e :
- Simplificando
:
Passo 6
Interpretar o sinal e dar uma aproximação numérica.
- O sinal negativo indica que
está diminuindo: a superfície da água está descendo (como esperado). - Aproximação numérica:
Pequeno incentivo: é uma taxa bem pequena — a água desce devagar — mas a técnica usada (semelhança de triângulos + derivação implícita) é a que cai direto na prova. Vai dar certo se repetir algumas vezes!