( 1,5 \mathrm{pts} ) De um funil cônico a água escoa a uma velocidade de 3 \mathrm{~cm}^{3} / \mathrm{seg}. Se o raio da base do funil é de 12 cm e a altura é de 24 cm , calcule a velocidade com a qual o nível de água está descendo, quando o nível estiver a 6 cm do topo.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • O funil é um cone com raio da base R=12\\ \mathrm{cm} e altura total H=24\\ \mathrm{cm}.
  • A água escoa do funil com taxa de volume igual a 3\\ \mathrm{cm}^3/\mathrm{seg}. Como o volume de água está diminuindo, usarei \dfrac{dV}{dt}=-3\\ \mathrm{cm}^3/\mathrm{seg}.
  • O enunciado pede a velocidade com que o nível de água está descendo quando o nível estiver a 6\\ \mathrm{cm} do topo (abertura) do funil.
    • “A 6\\ \mathrm{cm} do topo” significa que a superfície livre da água está a 6\\ \mathrm{cm} abaixo da abertura. Como a altura total do cone é 24\\ \mathrm{cm}, a altura da coluna de água medida a partir do vértice (ápice) do cone é
    y = 24 - 6 = 18\\ \mathrm{cm}.
  • Objetivo: calcular \dfrac{dy}{dt} (a taxa de variação da altura da água medida a partir do vértice) no instante em que y=18\\ \mathrm{cm}.

Passo 2

Definir variáveis e relação geométrica entre raio da superfície da água e sua altura.
  • Seja y a altura da coluna de água medida desde o vértice do cone até a superfície livre (unidade: \mathrm{cm}).
  • Seja r o raio da superfície livre da água (unidade: \mathrm{cm}).
  • Pelo desenho do cone, os triângulos formado pelo eixo e pelas geratrizes são semelhantes. Assim vale a proporção
\frac{r}{y}=\frac{R}{H}=\frac{12}{24}=\frac{1}{2}.
  • Logo
r=\frac{y}{2}.
Explicação rápida: triângulos semelhantes significam que razão entre correspondentes lados é constante; aqui a razão raio/altura é a mesma para qualquer seção do cone.

Passo 3

Escrever a fórmula do volume da parte cônica de água e substituir r em função de y.
  • Volume de um cone de altura y e raio da base r é
V=\frac{1}{3}\pi r^{2} y.
  • Substituindo r=\dfrac{y}{2}:
V=\frac{1}{3}\pi\left(\frac{y}{2}\right)^{2}y=\frac{1}{3}\pi\frac{y^{2}}{4}y=\frac{\pi}{12}y^{3}.
Aqui cada símbolo significa: V é o volume da água ( \mathrm{cm}^3), y é a altura da coluna de água ( \mathrm{cm}), \pi é a constante matemática.

Passo 4

Derivar a relação volume-altura em relação ao tempo (diferenciação implícita).
  • Derivando \displaystyle V=\frac{\pi}{12}y^{3} em relação a t (tempo):
\frac{dV}{dt}=\frac{\pi}{12}\cdot 3y^{2}\frac{dy}{dt}=\frac{\pi}{4}\,y^{2}\frac{dy}{dt}.
  • Isto usa a regra da cadeia: derivada de y^{3} em relação a t é 3y^{2}\dfrac{dy}{dt}.

Passo 5

Isolar \dfrac{dy}{dt} e substituir os valores conhecidos ( \dfrac{dV}{dt}=-3 e y=18).
  • Isolando \dfrac{dy}{dt}:
\frac{dy}{dt}=\frac{1}{\frac{\pi}{4}y^{2}}\frac{dV}{dt}=\frac{4}{\pi y^{2}}\frac{dV}{dt}.
  • Substituindo \dfrac{dV}{dt}=-3\\ \mathrm{cm}^3/\mathrm{seg} e y=18\\ \mathrm{cm}:
\frac{dy}{dt}=\frac{4}{\pi\cdot 18^{2}}\cdot(-3)=-\frac{12}{\pi\cdot 324}.
  • Simplificando 12/324=1/27:
\frac{dy}{dt}=-\frac{1}{27\pi}\\ \mathrm{cm/s}.

Passo 6

Interpretar o sinal e dar uma aproximação numérica.
  • O sinal negativo indica que y está diminuindo: a superfície da água está descendo (como esperado).
  • Aproximação numérica:
\frac{dy}{dt}\approx -\frac{1}{27\pi}\approx -0{,}0118\\ \mathrm{cm/s}.
Pequeno incentivo: é uma taxa bem pequena — a água desce devagar — mas a técnica usada (semelhança de triângulos + derivação implícita) é a que cai direto na prova. Vai dar certo se repetir algumas vezes!

Resposta

\dfrac{dy}{dt}=-\dfrac{1}{27\pi}\\ \mathrm{cm/s}\approx -0{,}0118\\ \mathrm{cm/s}

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