Nos seguintes exercícios calcule o límite
Passo 1
O enunciado pede para calcular o seguinte limite quando
tende para
:
Informações dadas:
- O numerador é
. - O denominador é
. - A aproximação é para
(ou seja, cresce sem limite, somente por valores positivos).
Passo 2
Ideia geral (técnica que vamos usar): em quocientes de polinômios quando
a contribuição dos termos de menor grau fica desprezível em relação aos termos de maior grau. Para aplicar isso de forma algébrica e rigorosa, divide-se numerador e denominador pela maior potência de
que aparece (aqui é
). Essa operação é válida para
e, para
, os valores de
são grandes e não nulos, então é segura.
Passo 3
Dividindo numerador e denominador por
obtemos (coloco a conta em forma explícita):
Passo 4
Agora use o fato simples sobre potências negativas: para qualquer inteiro
vale
porque
e
quando
, então seu recíproco tende a
.
Aplicando isso aos termos presentes:
Passo 5
Tomando o limite da expressão simplificada e substituindo os termos que vão a zero:
Comentário rápido e intuitivo: isso corresponde à razão dos coeficientes dos termos de maior grau (
) no numerador e no denominador, ou seja
.