Nos seguintes exercícios calcule o límite
\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x^{5}+x-3}{2 x^{5}+x^{4}+7}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o seguinte limite quando x tende para +\infty:
\lim_{x\to+\infty} \frac{x^{5}+x-3}{2x^{5}+x^{4}+7}.
Informações dadas:
  • O numerador é x^{5}+x-3.
  • O denominador é 2x^{5}+x^{4}+7.
  • A aproximação é para x\to+\infty (ou seja, x cresce sem limite, somente por valores positivos).

Passo 2

Ideia geral (técnica que vamos usar): em quocientes de polinômios quando x\to\pm\infty a contribuição dos termos de menor grau fica desprezível em relação aos termos de maior grau. Para aplicar isso de forma algébrica e rigorosa, divide-se numerador e denominador pela maior potência de x que aparece (aqui é x^{5}). Essa operação é válida para x\neq 0 e, para x\to+\infty, os valores de x são grandes e não nulos, então é segura.

Passo 3

Dividindo numerador e denominador por x^{5} obtemos (coloco a conta em forma explícita):
\frac{x^{5}+x-3}{2x^{5}+x^{4}+7} = \frac{\dfrac{x^{5}}{x^{5}}+\dfrac{x}{x^{5}}-\dfrac{3}{x^{5}}}{\dfrac{2x^{5}}{x^{5}}+\dfrac{x^{4}}{x^{5}}+\dfrac{7}{x^{5}}} = \frac{1 + x^{-4} - 3x^{-5}}{2 + x^{-1} + 7x^{-5}}.

Passo 4

Agora use o fato simples sobre potências negativas: para qualquer inteiro k>0 vale
\lim_{x\to+\infty} x^{-k} = 0,
porque x^{-k} = 1/x^{k} e x^{k}\to+\infty quando x\to+\infty, então seu recíproco tende a 0.
Aplicando isso aos termos presentes:
\lim_{x\to+\infty} x^{-4} = 0,\qquad \lim_{x\to+\infty} x^{-5} = 0,\qquad \lim_{x\to+\infty} x^{-1} = 0.

Passo 5

Tomando o limite da expressão simplificada e substituindo os termos que vão a zero:
\lim_{x\to+\infty} \frac{1 + x^{-4} - 3x^{-5}}{2 + x^{-1} + 7x^{-5}} = \frac{1 + 0 - 0}{2 + 0 + 0} = \frac{1}{2}.
Comentário rápido e intuitivo: isso corresponde à razão dos coeficientes dos termos de maior grau ( x^{5}) no numerador e no denominador, ou seja \dfrac{1}{2}.

Resposta

\frac{1}{2}

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