Determine whether each system mathcal{H} given below is BIBO stable. \mathcal{H} x(n)=\frac{1}{1+x^{2}(n)}
Passo 1
O enunciado apresenta o sistema que associa a cada entrada x(n) a saída
\mathcal{H}x(n)=\frac{1}{1+x^{2}(n)}.
A pergunta é clara: determinar se esse sistema é BIBO estável.
Informações dadas e o que é pedido:
Dado: para cada índice n, a saída é y(n)=\dfrac{1}{1+x^{2}(n)}.
Pedido: dizer se o sistema é BIBO estável (ou seja, se qualquer entrada limitada produz uma saída limitada).
Passo 2
Definição de BIBO estabilidade (explicada de forma bem direta):
Um sistema é BIBO estável se, sempre que a entrada x(n) for limitada (existe B<\infty com |x(n)|\le B para todo n), então a saída y(n) também for limitada (existe M<\infty com |y(n)|\le M para todo n).
Vou usar exatamente essa definição: assumir que a entrada é limitada e mostrar que a saída fica limitada por algum M que não depende de n.
Passo 3
Assuma uma entrada limitada: existe B>0 tal que
|x(n)|\le B\quad\text{para todo }n.
Observação simples sobre a expressão da saída: para qualquer número real x(n) tem-se x^{2}(n)\ge 0, logo o denominador 1+x^{2}(n) satisfaz
1+x^{2}(n)\ge 1.
Passo 4
Agora calcule o módulo da saída e use a desigualdade anterior:
Portanto a saída está uniformemente limitada por M=1, independente de n e independente do valor concreto de B (desde que B<\infty).
Passo 5
Conclusão lógica usando a definição: toda entrada limitada produz uma saída limitada (com |y(n)|\le 1 para todo n). Isso satisfaz exatamente a condição de BIBO estabilidade.