Determine whether each system mathcal{H} given below is time invariant. mathcal{H} x(n)=x(n)-x(n-1)
Passo 1
O enunciado fornece o sistema linear (em tempo discreto)
\mathcal{H}x(n)=x(n)-x(n-1)
e pede para determinar se esse sistema é invariante no tempo.
Informações relevantes dadas:
A expressão do operador \mathcal{H} sobre um sinal x(n) é x(n)-x(n-1).
O teste de invariância no tempo envolve comparar o efeito de deslocar o sinal de entrada antes de aplicar \mathcal{H} com o efeito de aplicar \mathcal{H} primeiro e depois deslocar o resultado.
Em tempo discreto, o deslocamento por n_0 é o sinal x_d(n)=x(n-n_0), com n_0 inteiro.
O que o enunciado pergunta:
Verificar se, para todo sinal x(n) e para todo deslocamento inteiro n_0, vale
Definição e ideia do teste (explicação didática curta):
Um sistema é invariante no tempo se deslocar a entrada e depois aplicar o sistema dá o mesmo resultado que aplicar o sistema e depois deslocar a saída.
Formalmente, para todo x(n) e todo inteiro n_0, devemos ter
Os dois lados são idênticos para todo n e para todo inteiro n_0. Portanto o operador produz a mesma saída quer se desloque a entrada antes quer se desloque a saída depois.
Passo 6
Breve intuição e exemplo numérico para fixar (aprender fazendo):
Intuitivamente, \mathcal{H} é o operador diferença que pega o valor atual e subtrai o valor com um atraso fixo de uma amostra. Como esse atraso é “fixo” e não depende de n, o comportamento não muda se deslocar o tempo.
Exemplo concreto: tome x(n)=\delta(n) (impulso unitário) e n_0=2.
Primeiro deslocar e depois aplicar: x_d(n)=\delta(n-2). Então
\mathcal{H}\{x_d(n)\}=\delta(n-2)-\delta(n-3).
Primeiro aplicar e depois deslocar: \mathcal{H}\{\delta(n)\}=\delta(n)-\delta(n-1). Deslocando por 2: