Determine whether each system mathcal{H} given below is BIBO stable.
\mathscr{H} x(n)=2 x(n)+1

Passo 1

O enunciado dá o sistema
\mathscr{H}x(n)=2x(n)+1
e pede para determinar se ele é BIBO estável. Ou seja, a pergunta é: para toda entrada limitada x(n) (isto é, existe B_x<\infty tal que |x(n)|\le B_x para todo n), a saída y(n)=\mathscr{H}x(n) também fica limitada (existe B_y<\infty tal que |y(n)|\le B_y para todo n)?

Passo 2

Vou lembrar a definição de BIBO estabilidade de forma bem prática: um sistema é BIBO estável se sempre que a entrada for limitada, a saída também for limitada. Formalmente, se sempre que
|x(n)|\le B_x<\infty\quad\text{para todo }n
então existe uma constante finita B_y tal que
|y(n)|\le B_y<\infty\quad\text{para todo }n.
Importante: essa definição não exige que o sistema seja linear nem invariante no tempo — basta que a implicação acima valha para todas as entradas limitadas.

Passo 3

Agora aplico isso ao sistema dado. A saída é
y(n)=2x(n)+1.
Vou usar duas propriedades básicas da norma absoluta (muito úteis em provas e na hora da prova):
  • desigualdade triangular: |a+b|\le |a|+|b| para quaisquer a,b;
  • homogeneidade: |c\cdot a|=|c|\,|a| para qualquer constante c.
Aplicando estas propriedades obtemos, para todo n,
|y(n)|=|2x(n)+1|\le |2x(n)|+|1|=2|x(n)|+1.

Passo 4

Se a entrada satisfaz |x(n)|\le B_x para todo n, então da desigualdade anterior segue
|y(n)|\le 2|x(n)|+1 \le 2B_x+1.
A quantidade B_y:=2B_x+1 é finita sempre que B_x for finito. Portanto para qualquer entrada limitada existe um limite finito para a saída; isso é exatamente BIBO estabilidade.

Passo 5

Comentário rápido e prático: mesmo que o termo constante +1 torne o sistema não linear (de fato o sistema não é homogêneo), ele continua BIBO estável porque a constante apenas desloca a saída e não faz com que ela cresça sem limite quando a entrada é limitada. Exemplo numérico: se |x(n)|\le 10 então |y(n)|\le 2\cdot 10+1=21.

Resposta

O sistema é BIBO estável.

Exercícios relacionados