Determine whether each system
given below is BIBO stable.
Passo 1
O enunciado dá o sistema
e pede para determinar se ele é BIBO estável. Ou seja, a pergunta é: para toda entrada limitada
(isto é, existe
tal que
para todo
), a saída
também fica limitada (existe
tal que
para todo
)?
Passo 2
Vou lembrar a definição de BIBO estabilidade de forma bem prática: um sistema é BIBO estável se sempre que a entrada for limitada, a saída também for limitada. Formalmente, se sempre que
então existe uma constante finita
tal que
Importante: essa definição não exige que o sistema seja linear nem invariante no tempo — basta que a implicação acima valha para todas as entradas limitadas.
Passo 3
Agora aplico isso ao sistema dado. A saída é
Vou usar duas propriedades básicas da norma absoluta (muito úteis em provas e na hora da prova):
- desigualdade triangular:
para quaisquer ; - homogeneidade:
para qualquer constante .
Aplicando estas propriedades obtemos, para todo
,
Passo 4
Se a entrada satisfaz
para todo
, então da desigualdade anterior segue
A quantidade
é finita sempre que
for finito. Portanto para qualquer entrada limitada existe um limite finito para a saída; isso é exatamente BIBO estabilidade.
Passo 5
Comentário rápido e prático: mesmo que o termo constante
torne o sistema não linear (de fato o sistema não é homogêneo), ele continua BIBO estável porque a constante apenas desloca a saída e não faz com que ela cresça sem limite quando a entrada é limitada. Exemplo numérico: se
então
.
Resposta
O sistema é BIBO estável.