Determine whether each system
given below is memoryless.
;
Passo 1
O enunciado dá o operador
e pede para determinar se cada sistema
é memoryless. Ou seja: decidir se a saída em um instante
depende apenas do valor da entrada naquele mesmo instante
ou se depende de valores da entrada em outros instantes.
Passo 2
Definição precisa e explicada do que é “memoryless”:
- Um sistema é memoryless se, para todo instante
, a saída depende apenas de e do valor da entrada em , isto é, existe uma função tal que
para qualquer entrada
.
- Uma forma equivalente, útil para ver contraprovas: se para dois sinais
e vale em um certo , então necessariamente as saídas nesses sinais coincidem em : . Se existir algum par e algum tal que mas , o sistema não é memoryless.
Explicando em palavras amistosas: um sistema sem memória “não precisa olhar para o passado nem para o futuro” — só olha para
. Se precisa de
em outro instante (por exemplo
ou
), então tem memória.
Passo 3
Aplicando isso ao sistema dado:
A saída neste sistema é
Ou seja, o valor da saída em
é o valor da entrada no instante
, não em
em geral. Note que
só acontece em alguns instantes especiais (por exemplo
e
), mas em geral
. Portanto, a saída em
usa um valor da entrada em um instante diferente de
(por exemplo, para
usa
). Isso já sugere que o sistema depende de outros instantes e não é memoryless; vamos fazer uma contraprova explícita.
Passo 4
Construção da contraprova (passo a passo, padrão “duas entradas que coincidem em [t) mas dão saídas diferentes”):
Escolho um instante específico simples, por exemplo
. Então
.
Agora defino duas entradas
e
que coincidem no instante
mas diferem no instante
.
Uma escolha simples é:
Uma escolha simples é:
onde
é a entrada nula e
é zero até
e depois passa a 1.)]
Passo 5
Calcular os valores relevantes para verificar a propriedade:
- No instante
temos
Logo
.
- Mas no instante
temos
Logo
.
Agora as saídas no instante
são
Como
apesar de
, isso viola a condição necessária para o sistema ser memoryless.
Passo 6
Interpretação final e observação didática:
-
O exemplo acima prova que existe pelo menos um instante
(por exemplo ) e dois sinais que coincidem em mas produzem saídas diferentes em . Portanto o sistema não é memoryless. -
Observação útil para a prova: embora em instantes especiais em que
(por exemplo ou ) a saída dependa apenas de , a definição de memoryless exige que isso ocorra para todo . Bastou um contraexemplo para concluir que o sistema não é memoryless.
Força aí — o raciocínio é direto: se a saída pede
e
normalmente é diferente de
, o sistema olha para outro instante e tem “memória”.
Resposta
Não,
não é memoryless.