Determine whether each system mathcal{H} given below is memoryless.
mathcal{H} x(t)=x\left(t^{2}\right);

Passo 1

O enunciado dá o operador
\mathcal{H}x(t)=x\bigl(t^{2}\bigr)
e pede para determinar se cada sistema \mathcal{H} é memoryless. Ou seja: decidir se a saída em um instante t depende apenas do valor da entrada naquele mesmo instante t ou se depende de valores da entrada em outros instantes.

Passo 2

Definição precisa e explicada do que é “memoryless”:
  • Um sistema é memoryless se, para todo instante t, a saída y(t) depende apenas de t e do valor da entrada em t, isto é, existe uma função f tal que
y(t)=f\bigl(t,\,x(t)\bigr)
para qualquer entrada x.
  • Uma forma equivalente, útil para ver contraprovas: se para dois sinais x_1 e x_2 vale x_1(t)=x_2(t) em um certo t, então necessariamente as saídas nesses sinais coincidem em t: y_1(t)=y_2(t). Se existir algum par x_1,x_2 e algum t tal que x_1(t)=x_2(t) mas y_1(t)\neq y_2(t), o sistema não é memoryless.
Explicando em palavras amistosas: um sistema sem memória “não precisa olhar para o passado nem para o futuro” — só olha para x(t). Se precisa de x em outro instante (por exemplo x(t-1) ou x(t^2)), então tem memória.

Passo 3

Aplicando isso ao sistema dado:
A saída neste sistema é
y(t)=\mathcal{H}x(t)=x\bigl(t^{2}\bigr).
Ou seja, o valor da saída em t é o valor da entrada no instante t^{2}, não em t em geral. Note que t^{2}=t só acontece em alguns instantes especiais (por exemplo t=0 e t=1), mas em geral t^{2}\neq t. Portanto, a saída em t usa um valor da entrada em um instante diferente de t (por exemplo, para t=2 usa x(4)). Isso já sugere que o sistema depende de outros instantes e não é memoryless; vamos fazer uma contraprova explícita.

Passo 4

Construção da contraprova (passo a passo, padrão “duas entradas que coincidem em [t) mas dão saídas diferentes”):
Escolho um instante específico simples, por exemplo t=2. Então t^{2}=4.
Agora defino duas entradas x_1 e x_2 que coincidem no instante t=2 mas diferem no instante 4.
Uma escolha simples é:
x_1(t)=0\quad\text{para todo }t,
x_2(t)=u(t-4)= \begin{cases} 0,& t<4,\\[4pt] 1,& t\ge 4, \end{cases}
onde u(\cdot)\] é a função degrau unitário. (Ambas são funções válidas; \(x_1 é a entrada nula e x_2 é zero até t=4 e depois passa a 1.)]

Passo 5

Calcular os valores relevantes para verificar a propriedade:
  • No instante t=2 temos
x_1(2)=0,\qquad x_2(2)=u(2-4)=u(-2)=0.
Logo x_1(2)=x_2(2).
  • Mas no instante t^{2}=4 temos
x_1(4)=0,\qquad x_2(4)=u(0)=1.
Logo x_1(4)\neq x_2(4).
Agora as saídas no instante t=2 são
\mathcal{H}x_1(2)=x_1(4)=0, \qquad \mathcal{H}x_2(2)=x_2(4)=1.
Como \mathcal{H}x_1(2)\neq\mathcal{H}x_2(2) apesar de x_1(2)=x_2(2), isso viola a condição necessária para o sistema ser memoryless.

Passo 6

Interpretação final e observação didática:
  • O exemplo acima prova que existe pelo menos um instante t (por exemplo t=2) e dois sinais que coincidem em t mas produzem saídas diferentes em t. Portanto o sistema não é memoryless.
  • Observação útil para a prova: embora em instantes especiais em que t^{2}=t (por exemplo t=0 ou t=1) a saída dependa apenas de x(t), a definição de memoryless exige que isso ocorra para todo t. Bastou um contraexemplo para concluir que o sistema não é memoryless.
Força aí — o raciocínio é direto: se a saída pede x(t^2) e t^2 normalmente é diferente de t, o sistema olha para outro instante e tem “memória”.

Resposta

Não, \mathcal{H} não é memoryless.

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