Determine whether each system mathcal{H} given below is memoryless.
mathcal{H} x(t)=x(-t);

Passo 1

O enunciado pede para determinar se o sistema dado por \mathcal{H}x(t)=x(-t) é memoryless (sem memória).
Informações fornecidas: a regra do sistema é, para cada instante t, a saída é o valor da entrada no instante -t.

Passo 2

Definição precisa (útil para provar): um sistema é memoryless (sem memória) quando, para todo instante t_0, o valor da saída naquele instante depende apenas do valor da entrada naquele mesmo instante. Formalmente, para qualquer par de sinais x_1 e x_2 e qualquer t_0, se
x_1(t_0)=x_2(t_0),
então deve ocorrer
y_1(t_0)=y_2(t_0),
onde y_i(t)=\mathcal{H}x_i(t). Em palavras: sinais que coincidem em t_0 devem produzir saídas iguais em t_0. Outra maneira equivalente de ver: para cada t, y(t) deve ser função somente de x(t), e não de valores x(\tau) com \tau\neq t.

Passo 3

Aplique a definição ao nosso sistema. Seja um instante fixo t_0. Para uma entrada x a saída no tempo t_0 é
y(t_0)=\mathcal{H}x(t_0)=x(-t_0).
Note que y(t_0) depende de x avaliada em -t_0, isto é, em um instante que, em geral, é diferente de t_0. Para que o sistema fosse memoryless seria necessário que, para todo sinal x e todo t_0, o valor x(-t_0) pudesse ser determinado apenas a partir de x(t_0). Isso não é verdade em geral (exceto no caso particular t_0=0, onde -t_0=t_0).

Passo 4

Contraexemplo numérico simples para deixar claro (prova por contradição prática). Considere a entrada
x(t)=t.
Então a saída é
y(t)=x(-t)=-t.
Escolhendo t_0=1 obtemos y(1)=-1. Mas o valor da entrada em t_0=1 é x(1)=1. Logo y(1) não é uma função do valor x(1) apenas; depende de x(-1). Isso mostra que, sabendo apenas x(1) não é possível determinar y(1). Portanto o sistema não é memoryless.

Passo 5

Comentários finais e intuição: o operador x(t)\mapsto x(-t) realiza uma reversão no tempo (time reversal). Para calcular a saída num tempo t é preciso conhecer a entrada num tempo diferente ( -t), ou seja, o sistema “olha” para outros instantes da entrada — exatamente o oposto de um sistema sem memória. Apenas no instante t=0 tem-se y(0)=x(0), então nesse único instante o comportamento é como se fosse sem memória, mas isso não torna o sistema memoryless globalmente.

Resposta

Não; o sistema \mathcal{H}x(t)=x(-t) não é memoryless.

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