Determine whether each system
given below is memoryless.
;
Passo 1
O enunciado pede para determinar se o sistema dado por
é memoryless (sem memória).
Informações fornecidas: a regra do sistema é, para cada instante , a saída é o valor da entrada no instante
.
Informações fornecidas: a regra do sistema é, para cada instante
Passo 2
Definição precisa (útil para provar): um sistema é memoryless (sem memória) quando, para todo instante
, o valor da saída naquele instante depende apenas do valor da entrada naquele mesmo instante. Formalmente, para qualquer par de sinais
e
e qualquer
, se
então deve ocorrer
onde
. Em palavras: sinais que coincidem em
devem produzir saídas iguais em
. Outra maneira equivalente de ver: para cada
,
deve ser função somente de
, e não de valores
com
.
Passo 3
Aplique a definição ao nosso sistema. Seja um instante fixo
. Para uma entrada
a saída no tempo
é
Note que
depende de
avaliada em
, isto é, em um instante que, em geral, é diferente de
. Para que o sistema fosse memoryless seria necessário que, para todo sinal
e todo
, o valor
pudesse ser determinado apenas a partir de
. Isso não é verdade em geral (exceto no caso particular
, onde
).
Passo 4
Contraexemplo numérico simples para deixar claro (prova por contradição prática). Considere a entrada
Então a saída é
Escolhendo
obtemos
. Mas o valor da entrada em
é
. Logo
não é uma função do valor
apenas; depende de
. Isso mostra que, sabendo apenas
não é possível determinar
. Portanto o sistema não é memoryless.
Passo 5
Comentários finais e intuição: o operador
realiza uma reversão no tempo (time reversal). Para calcular a saída num tempo
é preciso conhecer a entrada num tempo diferente (
), ou seja, o sistema “olha” para outros instantes da entrada — exatamente o oposto de um sistema sem memória. Apenas no instante
tem-se
, então nesse único instante o comportamento é como se fosse sem memória, mas isso não torna o sistema memoryless globalmente.
Resposta
Não; o sistema
não é memoryless.