Determine whether each system
given below is time invariant.
Passo 1
O enunciado dá o sistema
definido por
e pergunta se esse sistema é invariante no tempo.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A definição do operador fornecido é que a saída é a parte par do sinal de entrada, escrita como
. - A pergunta exige uma resposta “sim” ou “não” (se é invariante no tempo ou não), acompanhada da justificativa.
Passo 2
Definição precisa e útil da parte par do sinal (explicando o que é esse operador):
A parte par de um sinal é dada pela fórmula
A parte par de um sinal
Explicando cada termo:
-
é o valor do sinal no instante . -
é o valor do sinal “espelhado” em relação a . - A média
garante que o resultado seja um sinal par, isto é, satisfaça .
Passo 3
Lembrete da condição de invariância no tempo (passo-a-passo, sem pular):
Um sistema é invariante no tempo se, para todo sinal
e para toda constante inteira de atraso
, valer
Um sistema
Ou seja: aplicar um atraso à entrada e depois o sistema deve ser o mesmo que aplicar o sistema e, em seguida, atrasar a saída.
Passo 4
Calcular explicitamente
usando a definição da parte par:
Começando com a entrada atrasada . A parte par dessa entrada é
Começando com a entrada atrasada
Substituindo
:
Passo 5
Calcular explicitamente
(ou seja, aplicar o sistema primeiro e depois atrasar a saída):
A saída sem atraso é
A saída sem atraso é
Atrasando essa saída em
obtém-se
Passo 6
Comparação das duas expressões e conclusão geral (explicando por que são diferentes em geral):
As expressões obtidas são
As expressões obtidas são
e
Ambas têm o termo comum
, mas diferem no segundo termo: um tem
e o outro tem
. Em geral esses dois termos não são iguais para um sinal arbitrário
e deslocamento
. Portanto, a igualdade exigida pela invariância no tempo falha em geral. Logo, o sistema não é invariante no tempo.
Passo 7
Contraexemplo concreto (para ver a diferença de forma palpável):
Escolha (impulso deslocado). Então:
Escolha
- Primeiro calcule
:
- Atrasando essa saída em
:
- Agora calcule
. A entrada atrasada é . A parte par dessa entrada é
Comparando:
é diferente de
Portanto existe um sinal e um atraso para os quais a propriedade de invariância no tempo falha — confirmação prática de que o sistema NÃO é invariante no tempo.
Resposta
Não. O sistema
não é invariante no tempo.