For each system
and the sequences
given below, determine if each of the
is an eigensequence of
, and if it is, also state the corresponding eigenvalue.
, and
, where
is a real constant.
Passo 1
O enunciado dá o operador linear sobre sequências
e as três sequências:
onde
é uma constante real. A tarefa é, para cada
:
- verificar se existe um escalar
tal que
ou seja, verificar se
é uma eigensequence de
;
- se for eigensequence, determinar o correspondente autovalor
.
Passo 2
O que significa ser eigensequence (explicação didática):
- Uma sequência
é eigensequence de se ao aplicar obtém-se exatamente a mesma sequência multiplicada por um número fixo (independente de ). - Em fórmula: existe
(ou ) tal que para todo . - Na prática para provar ou refutar, calcula-se
e checa-se se o resultado é igual a um escalar fixo vezes . Se o fator multiplicador depender de , então não é eigensequence.
Passo 3
Análise de
.
Calculo de :
Calculo de
Fatorando
:
Reconhecendo que
, segue
Conclusão:
é eigensequence e o autovalor correspondente é
Passo 4
Observação útil (memorização): sequências geométricas
satisfazem
ou seja são eigensequences com autovalor
. No caso de
temos
, daí
. Isso é uma forma rápida de resolver casos semelhantes na prova.
Passo 5
Análise de
.
Calculo de :
Calculo de
Reescrevendo o primeiro termo:
Logo
Como
, tem-se
Aqui o fator multiplicador é
, que depende de
em geral. Portanto, para valores gerais de
esse fator NÃO é uma constante, logo
não é eigensequence, exceto em casos especiais em que o fator se torne constante.
Determinar esses casos especiais:
- Queremos
independente de . Como assume infinitos valores distintos quando varia, a única maneira de o exponencial ser constante para todos é fazer . - Se
, então (sequência constante) e
ou seja é eigensequence com autovalor
.
Conclusão: para
,
não é eigensequence. Para
,
é eigensequence com
.
Passo 6
Análise de
(sequência constante).
Calculo de :
Calculo de
Logo
Conclusão:
é eigensequence e o autovalor correspondente é
Observação extra: qualquer sequência constante
satisfaz
, portanto todas as constantes são eigensequences com autovalor
.