For each system
\mathscr{H} and the sequences \left\{x_{k}\right\} given below, determine if each of the x_{k} is an eigensequence of \mathscr{H}, and if it is, also state the corresponding eigenvalue.
\mathcal{H} x(n)=x(n+1)-x(n), x_{1}(n)=e^{a n}, x_{2}(n)=e^{a n^{2}}, and x_{3}(n)=42, where a is a real constant.

Passo 1

O enunciado dá o operador linear sobre sequências
\mathcal{H}x(n)=x(n+1)-x(n)
e as três sequências:
x_{1}(n)=e^{a n},\qquad x_{2}(n)=e^{a n^{2}},\qquad x_{3}(n)=42,
onde a é uma constante real. A tarefa é, para cada x_{k}:
  • verificar se existe um escalar \lambda tal que
\mathcal{H}x_{k}(n)=\lambda\,x_{k}(n)\quad\text{para todo }n,
ou seja, verificar se x_{k} é uma eigensequence de \mathcal{H};
  • se for eigensequence, determinar o correspondente autovalor \lambda.

Passo 2

O que significa ser eigensequence (explicação didática):
  • Uma sequência x(n) é eigensequence de \mathcal{H} se ao aplicar \mathcal{H} obtém-se exatamente a mesma sequência multiplicada por um número fixo \lambda (independente de n).
  • Em fórmula: existe \lambda\in\mathbb{R} (ou \mathbb{C}) tal que \mathcal{H}x(n)=\lambda x(n) para todo n.
  • Na prática para provar ou refutar, calcula-se \mathcal{H}x(n) e checa-se se o resultado é igual a um escalar fixo vezes x(n). Se o fator multiplicador depender de n, então não é eigensequence.

Passo 3

Análise de x_{1}(n)=e^{a n}.
Calculo de \mathcal{H}x_{1}(n):
\mathcal{H}x_{1}(n)=e^{a(n+1)}-e^{a n}.
Fatorando e^{a n}:
\mathcal{H}x_{1}(n)=e^{a n}\bigl(e^{a}-1\bigr).
Reconhecendo que e^{a n}=x_{1}(n), segue
\mathcal{H}x_{1}(n)=\bigl(e^{a}-1\bigr)\,x_{1}(n).
Conclusão: x_{1} é eigensequence e o autovalor correspondente é
\lambda_{1}=e^{a}-1.

Passo 4

Observação útil (memorização): sequências geométricas x(n)=r^{n} satisfazem
\mathcal{H}x(n)=r^{n+1}-r^{n}= (r-1)r^{n}=(r-1)x(n),
ou seja são eigensequences com autovalor r-1. No caso de x_{1} temos r=e^{a}, daí \lambda_{1}=e^{a}-1. Isso é uma forma rápida de resolver casos semelhantes na prova.

Passo 5

Análise de x_{2}(n)=e^{a n^{2}}.
Calculo de \mathcal{H}x_{2}(n):
\mathcal{H}x_{2}(n)=e^{a(n+1)^{2}}-e^{a n^{2}}.
Reescrevendo o primeiro termo:
e^{a(n+1)^{2}}=e^{a(n^{2}+2n+1)}=e^{a n^{2}}\;e^{a(2n+1)}.
Logo
\mathcal{H}x_{2}(n)=e^{a n^{2}}\bigl(e^{a(2n+1)}-1\bigr).
Como e^{a n^{2}}=x_{2}(n), tem-se
\mathcal{H}x_{2}(n)=\bigl(e^{a(2n+1)}-1\bigr)\,x_{2}(n).
Aqui o fator multiplicador é \bigl(e^{a(2n+1)}-1\bigr), que depende de n em geral. Portanto, para valores gerais de a esse fator NÃO é uma constante, logo x_{2} não é eigensequence, exceto em casos especiais em que o fator se torne constante.
Determinar esses casos especiais:
  • Queremos e^{a(2n+1)}-1 independente de n. Como 2n+1 assume infinitos valores distintos quando n varia, a única maneira de o exponencial ser constante para todos n é fazer a=0.
  • Se a=0, então x_{2}(n)=e^{0}=1 (sequência constante) e
\mathcal{H}x_{2}(n)=1-1=0=0\cdot x_{2}(n),
ou seja é eigensequence com autovalor \lambda=0.
Conclusão: para a\neq 0, x_{2} não é eigensequence. Para a=0, x_{2} é eigensequence com \lambda_{2}=0.

Passo 6

Análise de x_{3}(n)=42 (sequência constante).
Calculo de \mathcal{H}x_{3}(n):
\mathcal{H}x_{3}(n)=42-42=0.
Logo
\mathcal{H}x_{3}(n)=0\cdot x_{3}(n).
Conclusão: x_{3} é eigensequence e o autovalor correspondente é
\lambda_{3}=0.
Observação extra: qualquer sequência constante x(n)=C satisfaz \mathcal{H}x(n)=0, portanto todas as constantes são eigensequences com autovalor 0.

Resposta

x_{1} é eigensequence com \lambda=e^{a}-1.
x_{2} não é eigensequence para a\neq 0; se a=0 então x_{2} é eigensequence com \lambda=0.
x_{3} é eigensequence com \lambda=0.

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