Determine whether each system mathcal{H} given below is time invariant.
mathcal{H} x(n)=\operatorname{Even}\{x\}(n)

Passo 1

O enunciado dá o sistema \mathcal{H} definido por
\mathcal{H}x(n)=\operatorname{Even}\{x\}(n)
e pergunta se esse sistema é invariante no tempo.
Informações relevantes fornecidas:
  • A definição do operador fornecido é que a saída é a parte par do sinal de entrada, escrita como \operatorname{Even}\{x\}(n).
  • A pergunta exige uma resposta “sim” ou “não” (se é invariante no tempo ou não), acompanhada da justificativa.

Passo 2

Definição precisa e útil da parte par do sinal (explicando o que é esse operador):
A parte par de um sinal x(n) é dada pela fórmula
\operatorname{Even}\{x\}(n)=\frac{x(n)+x(-n)}{2}.
Explicando cada termo:
  • x(n) é o valor do sinal no instante n.
  • x(-n) é o valor do sinal “espelhado” em relação a n=0.
  • A média \tfrac{1}{2}(x(n)+x(-n)) garante que o resultado seja um sinal par, isto é, satisfaça \operatorname{Even}\{x\}(-n)=\operatorname{Even}\{x\}(n).

Passo 3

Lembrete da condição de invariância no tempo (passo-a-passo, sem pular):
Um sistema \mathcal{H} é invariante no tempo se, para todo sinal x(n) e para toda constante inteira de atraso n_0, valer
\mathcal{H}\{x(n-n_0)\} = \big(\mathcal{H}\{x\}\big)(n-n_0).
Ou seja: aplicar um atraso à entrada e depois o sistema deve ser o mesmo que aplicar o sistema e, em seguida, atrasar a saída.

Passo 4

Calcular explicitamente \mathcal{H}\{x(n-n_0)\} usando a definição da parte par:
Começando com a entrada atrasada x_{a}(n)=x(n-n_0). A parte par dessa entrada é
\mathcal{H}\{x(n-n_0)\}=\operatorname{Even}\{x_{a}\}(n)=\frac{x_{a}(n)+x_{a}(-n)}{2}.
Substituindo x_{a}:
\mathcal{H}\{x(n-n_0)\}=\frac{x(n-n_0)+x(-n-n_0)}{2}.

Passo 5

Calcular explicitamente \big(\mathcal{H}\{x\}\big)(n-n_0) (ou seja, aplicar o sistema primeiro e depois atrasar a saída):
A saída sem atraso é
\mathcal{H}\{x\}(n)=\operatorname{Even}\{x\}(n)=\frac{x(n)+x(-n)}{2}.
Atrasando essa saída em n_0 obtém-se
\big(\mathcal{H}\{x\}\big)(n-n_0)=\frac{x(n-n_0)+x(-(n-n_0))}{2}=\frac{x(n-n_0)+x(-n+n_0)}{2}.

Passo 6

Comparação das duas expressões e conclusão geral (explicando por que são diferentes em geral):
As expressões obtidas são
\mathcal{H}\{x(n-n_0)\}=\frac{x(n-n_0)+x(-n-n_0)}{2},
e
\big(\mathcal{H}\{x\}\big)(n-n_0)=\frac{x(n-n_0)+x(-n+n_0)}{2}.
Ambas têm o termo comum x(n-n_0), mas diferem no segundo termo: um tem x(-n-n_0) e o outro tem x(-n+n_0). Em geral esses dois termos não são iguais para um sinal arbitrário x e deslocamento n_0. Portanto, a igualdade exigida pela invariância no tempo falha em geral. Logo, o sistema não é invariante no tempo.

Passo 7

Contraexemplo concreto (para ver a diferença de forma palpável):
Escolha x(n)=\delta(n-1) (impulso deslocado). Então:
  • Primeiro calcule \mathcal{H}\{x\}(n):
\mathcal{H}\{x\}(n)=\frac{\delta(n-1)+\delta(-n+1)}{2}=\frac{1}{2}\delta(n-1)+\frac{1}{2}\delta(n+1).
  • Atrasando essa saída em n_0=1:
\big(\mathcal{H}\{x\}\big)(n-1)=\frac{1}{2}\delta(n-2)+\frac{1}{2}\delta(n).
  • Agora calcule \mathcal{H}\{x(n-1)\}. A entrada atrasada é x(n-1)=\delta(n-2). A parte par dessa entrada é
\mathcal{H}\{x(n-1)\}=\frac{\delta(n-2)+\delta(-n+2)}{2}=\frac{1}{2}\delta(n-2)+\frac{1}{2}\delta(n+2).
Comparando:
\mathcal{H}\{x(n-1)\}=\tfrac{1}{2}\delta(n-2)+\tfrac{1}{2}\delta(n+2)
é diferente de
\big(\mathcal{H}\{x\}\big)(n-1)=\tfrac{1}{2}\delta(n-2)+\tfrac{1}{2}\delta(n).
Portanto existe um sinal e um atraso para os quais a propriedade de invariância no tempo falha — confirmação prática de que o sistema NÃO é invariante no tempo.

Resposta

Não. O sistema \mathcal{H}x(n)=\operatorname{Even}\{x\}(n) não é invariante no tempo.

Exercícios relacionados