Determine whether each system \mathscr{K} given below is time invariant.
\mathcal{H} x(t)=\int_{t}^{t+1} x(\tau-\alpha) d \tau, where \alpha is a constant;

Passo 1

O enunciado dá um sistema linear (operador) \mathcal{H} definido por
\mathcal{H}x(t)=\int_{t}^{t+1} x(\tau-\alpha)\,d\tau,
onde \alpha é uma constante. A pergunta é: o sistema \mathcal{H} é invariante no tempo? Em outras palavras, para todo deslocamento temporal t_0 e para toda entrada x(t), vale
\mathcal{H}\{x(t-t_0)\} \stackrel{?}{=} (\mathcal{H}x)(t-t_0).

Passo 2

Vou lembrar claramente o que significa ser invariante no tempo (definição prática que vamos usar).
Um sistema \mathcal{H} é invariante no tempo se, para qualquer sinal de entrada x(t) e qualquer deslocamento t_0, a saída provocada pela entrada deslocada é igual à saída deslocada. Formalmente:
\text{para todo }x,\\ t_0:\quad \mathcal{H}\{x(t-t_0)\} = (\mathcal{H}x)(t-t_0).
O plano é calcular os dois lados dessa igualdade e comparar.

Passo 3

Calcular primeiro a saída sem deslocamento. Defina y(t)=(\mathcal{H}x)(t). Então, usando o enunciado,
y(t)=\int_{t}^{t+1} x(\tau-\alpha)\,d\tau.
Isso é só reescrever a definição do sistema.

Passo 4

Calcular agora a saída quando a entrada é deslocada: x_{t_0}(t)=x(t-t_0). Aplicando \mathcal{H} a essa entrada,
\mathcal{H}\{x(t-t_0)\} = \int_{t}^{t+1} x(\tau-\alpha - t_0)\,d\tau.
Aqui só substituí x(\cdot) por x(\cdot - t_0) dentro da integral.

Passo 5

Calcular o outro lado: a saída y(t) deslocada no tempo, isto é y(t-t_0). Usando a expressão de y do Passo 3,
y(t-t_0)=\int_{\,t-t_0}^{\,t-t_0+1} x(\sigma-\alpha)\,d\sigma.
Agora faço uma mudança de variável para comparar com a expressão do Passo 4. Defina \tau=\sigma+t_0. Quando \sigma varia de t-t_0 até t-t_0+1, então \tau varia de t até t+1. Substituindo e lembrando que d\sigma=d\tau,
y(t-t_0)=\int_{t}^{t+1} x(\tau - t_0 - \alpha)\,d\tau.

Passo 6

Compare as duas expressões obtidas:
\mathcal{H}\{x(t-t_0)\} = \int_{t}^{t+1} x(\tau-\alpha - t_0)\,d\tau
e
y(t-t_0)=\int_{t}^{t+1} x(\tau - t_0 - \alpha)\,d\tau.
As expressões são idênticas (a ordem de soma dentro do argumento não importa), portanto para todo x e todo deslocamento t_0 vale
\mathcal{H}\{x(t-t_0)\} = (\mathcal{H}x)(t-t_0).
Logo o sistema é invariante no tempo. Intuitivamente: o atraso constante \alpha dentro do argumento de x desloca o argumento, mas isso comuta com o atraso externo t_0; a janela de integração [t,t+1] também é deslocada da mesma forma, de modo que o efeito do deslocamento na entrada aparece de maneira idêntica em ambos os lados.

Passo 7

Comentário final curto e motivador: apesar da presença do parâmetro \alpha, ele é fixo e não depende de t, por isso não quebra a invariância temporal. Se \alpha dependesse de t (por exemplo \alpha=\alpha(t)), a conclusão poderia ser diferente — nesse caso teria que reavaliar.

Resposta

O sistema é invariante no tempo para qualquer constante \alpha.

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