Determine whether each system
given below is time invariant.
, where
is a constant;
Passo 1
O enunciado dá um sistema linear (operador)
definido por
onde
é uma constante. A pergunta é: o sistema
é invariante no tempo? Em outras palavras, para todo deslocamento temporal
e para toda entrada
, vale
Passo 2
Vou lembrar claramente o que significa ser invariante no tempo (definição prática que vamos usar).
Um sistema é invariante no tempo se, para qualquer sinal de entrada
e qualquer deslocamento
, a saída provocada pela entrada deslocada é igual à saída deslocada. Formalmente:
Um sistema
O plano é calcular os dois lados dessa igualdade e comparar.
Passo 3
Calcular primeiro a saída sem deslocamento. Defina
. Então, usando o enunciado,
Isso é só reescrever a definição do sistema.
Passo 4
Calcular agora a saída quando a entrada é deslocada:
. Aplicando
a essa entrada,
Aqui só substituí
por
dentro da integral.
Passo 5
Calcular o outro lado: a saída
deslocada no tempo, isto é
. Usando a expressão de
do Passo 3,
Agora faço uma mudança de variável para comparar com a expressão do Passo 4. Defina
. Quando
varia de
até
, então
varia de
até
. Substituindo e lembrando que
,
Passo 6
Compare as duas expressões obtidas:
e
As expressões são idênticas (a ordem de soma dentro do argumento não importa), portanto para todo
e todo deslocamento
vale
Logo o sistema é invariante no tempo. Intuitivamente: o atraso constante
dentro do argumento de
desloca o argumento, mas isso comuta com o atraso externo
; a janela de integração
também é deslocada da mesma forma, de modo que o efeito do deslocamento na entrada aparece de maneira idêntica em ambos os lados.
Passo 7
Comentário final curto e motivador: apesar da presença do parâmetro
, ele é fixo e não depende de
, por isso não quebra a invariância temporal. Se
dependesse de
(por exemplo
), a conclusão poderia ser diferente — nesse caso teria que reavaliar.
Resposta
O sistema é invariante no tempo para qualquer constante
.