(MACK-SP) Sejam os conjuntos:
A=\{x \in \mathbb{R} \mid 0 \leq x \leq 3\}, \quad B=\{x \in \mathbb{R} \mid x \leq 3\}, \quad C=\{x \in \mathbb{R} \mid-2 \leq x \leq 3\} .
O conjunto (B-A) \cap C é:
(a) \emptyset
(b) \{x \in \mathbb{R} \mid x<0\}
(c) \{x \in \mathbb{R} \mid x>-2\}
(d) \{x \in \mathbb{R} \mid-2 \leq x<0\}
(e) \{x \in \mathbb{R} \mid-2<x \leq 3\}

Passo 1

O enunciado nos dá os conjuntos (copiado do enunciado):
  • A=\{x \in \mathbb{R} \mid 0 \leq x \leq 3\}.
  • B=\{x \in \mathbb{R} \mid x \leq 3\}.
  • C=\{x \in \mathbb{R} \mid -2 \leq x \leq 3\}.
O que se pede é calcular o conjunto (B-A)\cap C e escolher a alternativa correta entre (a) a (e).

Passo 2

Definição e ideia útil: a diferença de conjuntos B-A significa
B-A=\{x\in B \mid x\notin A\},
ou seja, todos os elementos que estão em B mas não estão em A. Pense assim: pego B e “tiro” tudo que pertence a A.

Passo 3

Vamos aplicar essa definição aos intervalos dados.
  • B é o conjunto de todos os x tais que x\le 3, isto é, o intervalo (-\infty,3].
  • A é o intervalo [0,3].
Para ter x\in B e x\notin A precisamos de x\le 3 e, ao mesmo tempo, NÃO ter 0\le x\le 3. Isso equivale a exigir x<0. Logo
B-A=\{x\in\mathbb{R}\mid x<0\},
ou seja o intervalo (-\infty,0).
Um check rápido com exemplos: -1\in B-A (porque -1\le3 e não está em [0,3]); 0\notin B-A (porque 0\in A); 2\notin B-A.

Passo 4

Agora a interseção. Definição:
X\cap Y=\{x\in\mathbb{R}\mid x\in X \text{ e } x\in Y\}.
Então (B-A)\cap C são os números que pertencem simultaneamente a B-A e a C.

Passo 5

Substituindo os conjuntos que já temos:
B-A=\{x\in\mathbb{R}\mid x<0\}, \qquad C=\{x\in\mathbb{R}\mid -2\le x\le 3\}.
Para pertencer à interseção é preciso satisfazer ambas as condições ao mesmo tempo:
-2\le x\le 3 \quad\text{e}\quad x<0.
Combinando: -2\le x <0. Ou seja, a interseção é o intervalo [-2,0).
Verificação por pontos: -2 pertence (porque está em C e também satisfaz x<0), -1 pertence, 0 não pertence (porque 0 não satisfaz x<0).

Passo 6

Comparando com as alternativas do enunciado, a descrição \{x\in\mathbb{R}\mid -2\le x<0\} corresponde à alternativa (d).

Resposta

(d) \{x\in\mathbb{R}\mid -2\le x<0\}

Exercícios relacionados