Determine whether each system
given below is linear.
Passo 1
O enunciado dá um sistema que, para cada tempo
, produz a saída
A pergunta é: o sistema
é linear? Em outras palavras, dado quaisquer sinais de entrada
e
e quaisquer escalares
e
, devemos verificar se vale
para todo
. Essas são as informações e o que nos pedem.
Passo 2
Lembrete do que significa linearidade (a “aula rápida”):
- Um sistema é linear se satisfaz duas propriedades juntas: homogeneidade (ou escalamento) e aditividade.
- Homogeneidade: para qualquer escalar
e qualquer sinal ,
- Aditividade: para quaisquer sinais
,
Juntando-as, para quaisquer escalares
e sinais
deve valer a propriedade de superposição exibida no passo anterior. Estas propriedades se verificam tipicamente usando propriedades básicas do operador integral.
Passo 3
Aplicar o sistema à combinação linear
. Por definição,
Agora usamos duas propriedades elementares da integral definida:
- A integral de soma é a soma das integrais:
- Um fator constante pode sair da integral:
Aplicando essas propriedades ao integrando acima, obtemos
Passo 4
Realizando as operações indicadas:
Isso mostra exatamente a propriedade de superposição para todo
, quaisquer
e quaisquer escalares
.]
Passo 5
Intuição com um exemplo numérico (para fixar): tome
,
(observando que na integral a variável de integração é
),
,
. Então
Logo
Por outro lado,
o que confirma na prática a igualdade já demonstrada simbolicamente.
Resposta
O sistema é linear.