Determine whether each system \mathscr{X} given below is linear.
\mathcal{H} x(t)=\int_{t=1}^{t+1} x(\tau) d \tau

Passo 1

O enunciado dá um sistema que, para cada tempo t, produz a saída
\mathcal{H}x(t)=\int_{t}^{t+1} x(\tau)\,d\tau.
A pergunta é: o sistema \mathcal{H} é linear? Em outras palavras, dado quaisquer sinais de entrada x_1(t) e x_2(t) e quaisquer escalares a e b, devemos verificar se vale
\mathcal{H}\big(a x_1 + b x_2\big)(t)=a\,\mathcal{H}x_1(t)+b\,\mathcal{H}x_2(t)
para todo t. Essas são as informações e o que nos pedem.

Passo 2

Lembrete do que significa linearidade (a “aula rápida”):
  • Um sistema é linear se satisfaz duas propriedades juntas: homogeneidade (ou escalamento) e aditividade.
  • Homogeneidade: para qualquer escalar c e qualquer sinal x,
\mathcal{H}[c\,x](t)=c\,\mathcal{H}[x](t).
  • Aditividade: para quaisquer sinais x_1,x_2,
\mathcal{H}[x_1+x_2](t)=\mathcal{H}[x_1](t)+\mathcal{H}[x_2](t).
Juntando-as, para quaisquer escalares a,b e sinais x_1,x_2 deve valer a propriedade de superposição exibida no passo anterior. Estas propriedades se verificam tipicamente usando propriedades básicas do operador integral.

Passo 3

Aplicar o sistema à combinação linear a x_1 + b x_2. Por definição,
\mathcal{H}\big(a x_1 + b x_2\big)(t) = \int_{t}^{t+1} \big(a\,x_1(\tau)+b\,x_2(\tau)\big)\,d\tau.
Agora usamos duas propriedades elementares da integral definida:
  1. A integral de soma é a soma das integrais:
\int (f+g)=\int f + \int g.
  1. Um fator constante pode sair da integral:
\int c\,f = c\int f.
Aplicando essas propriedades ao integrando acima, obtemos

Passo 4

Realizando as operações indicadas:
\begin{aligned} \mathcal{H}\big(a x_1 + b x_2\big)(t) &= \int_{t}^{t+1} a\,x_1(\tau)\,d\tau \;+\; \int_{t}^{t+1} b\,x_2(\tau)\,d\tau\\[6pt] &= a\int_{t}^{t+1} x_1(\tau)\,d\tau \;+\; b\int_{t}^{t+1} x_2(\tau)\,d\tau\\[6pt] &= a\,\mathcal{H}x_1(t) \;+\; b\,\mathcal{H}x_2(t). \end{aligned}
Isso mostra exatamente a propriedade de superposição para todo t, quaisquer x_1,x_2 e quaisquer escalares a,b.]

Passo 5

Intuição com um exemplo numérico (para fixar): tome x_1(t)=1, x_2(t)=\tau (observando que na integral a variável de integração é \tau), a=2, b=3. Então
\mathcal{H}x_1(t)=\int_{t}^{t+1} 1\,d\tau = 1, \qquad \mathcal{H}x_2(t)=\int_{t}^{t+1} \tau\,d\tau = t+\tfrac{1}{2}.
Logo
a\,\mathcal{H}x_1(t)+b\,\mathcal{H}x_2(t)=2\cdot1+3\cdot\big(t+\tfrac{1}{2}\big)=3t+\tfrac{7}{2}.
Por outro lado,
\mathcal{H}\big(2x_1+3x_2\big)(t)=\int_{t}^{t+1}\big(2+3\tau\big)\,d\tau=3t+\tfrac{7}{2},
o que confirma na prática a igualdade já demonstrada simbolicamente.

Resposta

O sistema é linear.

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