Determine whether each system \mathscr{X} given below is linear.
\mathcal{H} x(t)=\int_{-\infty}^{\infty} x(\tau) h(t-\tau) d \tau, where h is an arbitrary (but fixed) function

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede (sem resolver ainda).
  • O enunciado dá um sistema linear-temporal descrito por
\mathcal{H}x(t)=\int_{-\infty}^{\infty} x(\tau)\,h(t-\tau)\,d\tau,
onde h é uma função arbitrária, porém fixa (ou seja, h não depende de x).
  • O que é pedido: determinar se o sistema \mathcal{H} é linear (ou seja, responder “sim” ou “não” e justificar).
  • Informação implícita necessária: supõe-se que os sinais x(t) considerados e a função h são tais que as integrais existem (convergem).

Passo 2

Definição de linearidade (explicada devagarzinho). Um sistema \mathcal{H} é linear se obedece à propriedade de superposição: para quaisquer sinais x_1(t) e x_2(t) e quaisquer escalares a,b (reais ou complexos, conforme o contexto),
\mathcal{H}\big[a x_1 + b x_2\big](t)=a\,\mathcal{H}\big[x_1\big](t)+b\,\mathcal{H}\big[x_2\big].
Essa condição contém duas ideias:
  • aditividade: \mathcal{H}[x_1+x_2]=\mathcal{H}[x_1]+\mathcal{H}[x_2];
  • homogeneidade (ou escala): \mathcal{H}[a x]=a\,\mathcal{H}[x].
Também preciso usar uma propriedade básica de integrais (que é simples e importante): a integral é linear. Ou seja, para funções f(\tau) e g(\tau) e escalares a,b,
\int (a f(\tau)+b g(\tau))\,d\tau = a\int f(\tau)\,d\tau + b\int g(\tau)\,d\tau,
desde que todas as integrais existam. Essa propriedade permite “distribuir” soma e puxar constantes para fora da integral.

Passo 3

Começo a provar a propriedade de superposição para \mathcal{H}. Tome sinais quaisquer x_1(t) e x_2(t) e escalares quaisquer a,b. Considere a entrada combinada a x_1 + b x_2. Então, pela definição do sistema,
\mathcal{H}\big[a x_1 + b x_2\big](t) = \int_{-\infty}^{\infty} \big(a x_1(\tau)+b x_2(\tau)\big)\,h(t-\tau)\,d\tau.

Passo 4

Agora aplico a distributividade do produto sobre a soma dentro do integrando:
\big(a x_1(\tau)+b x_2(\tau)\big)\,h(t-\tau) = a\,x_1(\tau)\,h(t-\tau) + b\,x_2(\tau)\,h(t-\tau).
Substituindo na integral,
\mathcal{H}\big[a x_1 + b x_2\big](t) = \int_{-\infty}^{\infty} \big(a\,x_1(\tau)\,h(t-\tau) + b\,x_2(\tau)\,h(t-\tau)\big)\,d\tau.

Passo 5

Uso a linearidade da integral para separar a soma e puxar as constantes a e b para fora:
\mathcal{H}\big[a x_1 + b x_2\big](t) = a\int_{-\infty}^{\infty} x_1(\tau)\,h(t-\tau)\,d\tau + b\int_{-\infty}^{\infty} x_2(\tau)\,h(t-\tau)\,d\tau.

Passo 6

Reconheço cada integral como a saída do sistema para x_1 e x_2 respectivamente, pela definição de \mathcal{H}. Portanto
\mathcal{H}\big[a x_1 + b x_2\big](t) = a\,\mathcal{H}\big[x_1\big](t) + b\,\mathcal{H}\big[x_2\big](t).
Isso mostra que a propriedade de superposição vale para quaisquer x_1,x_2 e quaisquer escalares a,b, sob a hipótese de convergência das integrais.

Passo 7

Comentário didático rápido (pra fixar): a operação definida por
\mathcal{H}x(t)=\int_{-\infty}^{\infty} x(\tau)\,h(t-\tau)\,d\tau
é justamente a convolução x*h. Convolução é uma operação linear porque a integral que a define é linear — por isso todo sistema definido por convolução com uma função fixa h é linear. Exemplos simples:
  • Se h(t)=\delta(t) (delta de Dirac), então \mathcal{H}x(t)=x(t) (sistema identidade), claramente linear.
  • Se h(t)=e^{-t}u(t) onde u é o degrau, então \mathcal{H}x é o filtro exponencial; também é linear pelo mesmo argumento.

Resposta

O sistema é linear.

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