Determine whether each system
given below is linear.
, where
is an arbitrary (but fixed) function
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede (sem resolver ainda).
- O enunciado dá um sistema linear-temporal descrito por
onde
é uma função arbitrária, porém fixa (ou seja,
não depende de
).
- O que é pedido: determinar se o sistema
é linear (ou seja, responder “sim” ou “não” e justificar). - Informação implícita necessária: supõe-se que os sinais
considerados e a função são tais que as integrais existem (convergem).
Passo 2
Definição de linearidade (explicada devagarzinho). Um sistema
é linear se obedece à propriedade de superposição: para quaisquer sinais
e
e quaisquer escalares
(reais ou complexos, conforme o contexto),
Essa condição contém duas ideias:
- aditividade:
; - homogeneidade (ou escala):
.
Também preciso usar uma propriedade básica de integrais (que é simples e importante): a integral é linear. Ou seja, para funções
e
e escalares
,
desde que todas as integrais existam. Essa propriedade permite “distribuir” soma e puxar constantes para fora da integral.
Passo 3
Começo a provar a propriedade de superposição para
. Tome sinais quaisquer
e
e escalares quaisquer
. Considere a entrada combinada
. Então, pela definição do sistema,
Passo 4
Agora aplico a distributividade do produto sobre a soma dentro do integrando:
Substituindo na integral,
Passo 5
Uso a linearidade da integral para separar a soma e puxar as constantes
e
para fora:
Passo 6
Reconheço cada integral como a saída do sistema para
e
respectivamente, pela definição de
. Portanto
Isso mostra que a propriedade de superposição vale para quaisquer
e quaisquer escalares
, sob a hipótese de convergência das integrais.
Passo 7
Comentário didático rápido (pra fixar): a operação definida por
é justamente a convolução
. Convolução é uma operação linear porque a integral que a define é linear — por isso todo sistema definido por convolução com uma função fixa
é linear. Exemplos simples:
- Se
(delta de Dirac), então (sistema identidade), claramente linear. - Se
onde é o degrau, então é o filtro exponencial; também é linear pelo mesmo argumento.
Resposta
O sistema é linear.