Determine whether each system \mathscr{X} given below is linear.
\mathcal{H} x(t)=\operatorname{Even}(x)(t)

Passo 1

O enunciado pede para determinar se o sistema \mathscr{X} definido por
\mathcal{H}x(t)=\operatorname{Even}(x)(t)
é linear.
Informações dadas:
  • A operação aplicada ao sinal x é a função \operatorname{Even}(x)(t) (a parte par de x).
  • Não há outras restrições ou condições fornecidas.

Passo 2

Relembrando, de forma bem clara e prática, o que significa ser linear. Um sistema \mathcal{H} é linear se, para quaisquer sinais x_1(t), x_2(t) e quaisquer escalares \alpha,\beta, vale a propriedade de superposição:
\mathcal{H}[\alpha x_1 + \beta x_2](t) = \alpha\,\mathcal{H}[x_1](t) + \beta\,\mathcal{H}[x_2](t).
Isso engloba duas propriedades: homogeneidade (escalares podem sair) e aditividade (soma de sinais vira soma das saídas). Nossa estratégia será verificar essa igualdade diretamente para \mathcal{H}=\operatorname{Even}.

Passo 3

Precisamos saber exatamente o que é \operatorname{Even}(x)(t). A definição padrão da parte par (even part) de um sinal x é
\operatorname{Even}(x)(t)=\frac{x(t)+x(-t)}{2}.
Uma observação rápida: por essa definição, \operatorname{Even}(x)(-t)=\operatorname{Even}(x)(t), ou seja, o resultado é de fato um sinal par.

Passo 4

Agora aplicamos a definição de \operatorname{Even} à combinação \alpha x_1+\beta x_2 e fazemos as contas passo a passo, sem pular etapas:
\begin{aligned} \mathcal{H}[\alpha x_1 + \beta x_2](t) &= \operatorname{Even}(\alpha x_1 + \beta x_2)(t)\\[4pt] &= \frac{(\alpha x_1(t)+\beta x_2(t)) + (\alpha x_1(-t)+\beta x_2(-t))}{2}\\[4pt] &= \frac{\alpha\big(x_1(t)+x_1(-t)\big) + \beta\big(x_2(t)+x_2(-t)\big)}{2}\\[4pt] &= \alpha\,\frac{x_1(t)+x_1(-t)}{2} + \beta\,\frac{x_2(t)+x_2(-t)}{2}\\[4pt] &= \alpha\,\operatorname{Even}(x_1)(t) + \beta\,\operatorname{Even}(x_2)(t)\\[4pt] &= \alpha\,\mathcal{H}[x_1](t) + \beta\,\mathcal{H}[x_2](t). \end{aligned}
Cada passo usa apenas distributividade e fatoração de escalares (operações válidas para números e sinais); não foi necessário assumir nada além da definição de \operatorname{Even}.]

Passo 5

Concluímos pela verificação direta da propriedade de superposição que \mathcal{H}=\operatorname{Even} preserva somas e multiplicações por escalares para quaisquer sinais e escalares. Portanto o sistema é linear. Vou acrescentar aqui uma palavra de incentivo: deu trabalho seguir as definições, mas essa verificação direta é a maneira mais segura de resolver esse tipo de questão na prova — você mandou bem chegando até aqui!

Resposta

O sistema é linear.

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