Determine whether each system
given below is linear.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se o sistema
definido por
é linear.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A operação aplicada ao sinal
é a função (a parte par de ). - Não há outras restrições ou condições fornecidas.
Passo 2
Relembrando, de forma bem clara e prática, o que significa ser linear. Um sistema
é linear se, para quaisquer sinais
,
e quaisquer escalares
, vale a propriedade de superposição:
Isso engloba duas propriedades: homogeneidade (escalares podem sair) e aditividade (soma de sinais vira soma das saídas). Nossa estratégia será verificar essa igualdade diretamente para
.
Passo 3
Precisamos saber exatamente o que é
. A definição padrão da parte par (even part) de um sinal
é
Uma observação rápida: por essa definição,
, ou seja, o resultado é de fato um sinal par.
Passo 4
Agora aplicamos a definição de
à combinação
e fazemos as contas passo a passo, sem pular etapas:
Cada passo usa apenas distributividade e fatoração de escalares (operações válidas para números e sinais); não foi necessário assumir nada além da definição de
.]
Passo 5
Concluímos pela verificação direta da propriedade de superposição que
preserva somas e multiplicações por escalares para quaisquer sinais e escalares. Portanto o sistema é linear. Vou acrescentar aqui uma palavra de incentivo: deu trabalho seguir as definições, mas essa verificação direta é a maneira mais segura de resolver esse tipo de questão na prova — você mandou bem chegando até aqui!
Resposta
O sistema é linear.