3.30 Determine whether each system
given below is additive and/or homogeneous.
.
Passo 1
O enunciado dá o sistema
Perguntas a responder:
- O sistema é aditivo? (isto é, vale
para quaisquer sinais ?) - O sistema é homogêneo? (isto é, vale
para quaisquer escalares e qualquer sinal ?)
Passo 2
Definições e observações importantes (passo-a-passo didático):
- Additividade: um sistema
é aditivo se, para quaisquer sinais e ,
Aqui
é a saída do sistema quando a entrada é
.
- Homogeneidade (ou escala): o sistema é homogêneo se, para qualquer escalar
(o conjunto de escalares pode ser ou , isso importa) e qualquer sinal ,
- Observação importante: se os sinais e escalares são complexos, a propriedade deve valer para todo
. Se apenas escalares reais são permitidos, testamos apenas . Vou testar primeiro para escalares gerais (complexos) e depois comentar o caso restrito a escalares reais.
Passo 3
Teste de aditividade com cálculo direto:
Para quaisquer e
,
Para quaisquer
Usa-se a propriedade do operador parte imaginária que é linear sobre soma:
Portanto
ou seja, o sistema é aditivo. Exemplo numérico rápido para fixar: se
e
, então
e
.
Passo 4
Teste de homogeneidade para escalares complexos — procuramos contraexemplo:
Escolha o escalar (unidade imaginária) e o sinal teste
(constante real). Então
Escolha o escalar
Por outro lado,
Como
, a igualdade
falha. Logo o sistema NÃO é homogêneo quando permitimos escalares complexos. Conclusão: não existe homogeneidade geral para
.
Passo 5
Verificação do caso de escalares reais (observação adicional útil para prova):
Se , então a parte imaginária admite fatoração por escalares reais:
Se
porque um número real pode ser tirado para fora da operação de parte imaginária. Assim
para todo
. Em palavras: o sistema é homogêneo para escalares reais, mas não para escalares complexos.
Passo 6
Resumo/interpretação final e incentivo: portanto a parte imaginária é linear em relação à soma (aditiva), mas não preserva multiplicação por escalares complexos — só preserva multiplicação por reais. Isso é um detalhe importante em provas: sempre esclarecer o domínio dos escalares. Segura a bronca, você já entendeu como testar com um contraexemplo simples!
Resposta
Aditiva: sim.
Homogênea: não (é homogênea apenas para escalares reais).
Homogênea: não (é homogênea apenas para escalares reais).