3.30 Determine whether each system \mathscr{K} given below is additive and/or homogeneous.
\mathcal{F}(x(t)=\operatorname{Im}[x(t)]).

Passo 1

O enunciado dá o sistema
\mathcal{F}\bigl(x(t)\bigr)=\operatorname{Im}\bigl[x(t)\bigr].
Perguntas a responder:
  • O sistema é aditivo? (isto é, vale \mathcal{F}(x_1+x_2)=\mathcal{F}(x_1)+\mathcal{F}(x_2) para quaisquer sinais x_1,x_2?)
  • O sistema é homogêneo? (isto é, vale \mathcal{F}(c\,x)=c\,\mathcal{F}(x) para quaisquer escalares c e qualquer sinal x?)

Passo 2

Definições e observações importantes (passo-a-passo didático):
  • Additividade: um sistema \mathcal{F} é aditivo se, para quaisquer sinais x_1(t) e x_2(t),
\mathcal{F}\bigl(x_1(t)+x_2(t)\bigr)=\mathcal{F}\bigl(x_1(t)\bigr)+\mathcal{F}\bigl(x_2(t)\bigr).
Aqui \mathcal{F}(x(t)) é a saída do sistema quando a entrada é x(t).
  • Homogeneidade (ou escala): o sistema é homogêneo se, para qualquer escalar c (o conjunto de escalares pode ser \mathbb{R} ou \mathbb{C}, isso importa) e qualquer sinal x(t),
\mathcal{F}\bigl(c\,x(t)\bigr)=c\,\mathcal{F}\bigl(x(t)\bigr).
  • Observação importante: se os sinais e escalares são complexos, a propriedade deve valer para todo c\in\mathbb{C}. Se apenas escalares reais são permitidos, testamos apenas c\in\mathbb{R}. Vou testar primeiro para escalares gerais (complexos) e depois comentar o caso restrito a escalares reais.

Passo 3

Teste de aditividade com cálculo direto:
Para quaisquer x_1(t) e x_2(t),
\mathcal{F}\bigl(x_1(t)+x_2(t)\bigr)=\operatorname{Im}\bigl[x_1(t)+x_2(t)\bigr].
Usa-se a propriedade do operador parte imaginária que é linear sobre soma:
\operatorname{Im}\bigl[x_1(t)+x_2(t)\bigr]=\operatorname{Im}\bigl[x_1(t)\bigr]+\operatorname{Im}\bigl[x_2(t)\bigr].
Portanto
\mathcal{F}\bigl(x_1+x_2\bigr)=\mathcal{F}\bigl(x_1\bigr)+\mathcal{F}\bigl(x_2\bigr),
ou seja, o sistema é aditivo. Exemplo numérico rápido para fixar: se x_1=1+i e x_2=2+3i, então \operatorname{Im}[x_1+x_2]=\operatorname{Im}[3+4i]=4 e \operatorname{Im}[x_1]+\operatorname{Im}[x_2]=1+3=4.

Passo 4

Teste de homogeneidade para escalares complexos — procuramos contraexemplo:
Escolha o escalar c=i (unidade imaginária) e o sinal teste x(t)=1 (constante real). Então
\mathcal{F}\bigl(i\cdot x(t)\bigr)=\operatorname{Im}\bigl[i\cdot 1\bigr]=\operatorname{Im}(i)=1.
Por outro lado,
i\cdot\mathcal{F}\bigl(x(t)\bigr)=i\cdot\operatorname{Im}(1)=i\cdot 0=0.
Como 1\neq 0, a igualdade \mathcal{F}(i x)=i\,\mathcal{F}(x) falha. Logo o sistema NÃO é homogêneo quando permitimos escalares complexos. Conclusão: não existe homogeneidade geral para c\in\mathbb{C}.

Passo 5

Verificação do caso de escalares reais (observação adicional útil para prova):
Se c=\alpha\in\mathbb{R}, então a parte imaginária admite fatoração por escalares reais:
\mathcal{F}\bigl(\alpha\,x(t)\bigr)=\operatorname{Im}\bigl[\alpha\,x(t)\bigr]=\alpha\,\operatorname{Im}\bigl[x(t)\bigr]
porque um número real pode ser tirado para fora da operação de parte imaginária. Assim \mathcal{F}(\alpha x)=\alpha\mathcal{F}(x) para todo \alpha\in\mathbb{R}. Em palavras: o sistema é homogêneo para escalares reais, mas não para escalares complexos.

Passo 6

Resumo/interpretação final e incentivo: portanto a parte imaginária é linear em relação à soma (aditiva), mas não preserva multiplicação por escalares complexos — só preserva multiplicação por reais. Isso é um detalhe importante em provas: sempre esclarecer o domínio dos escalares. Segura a bronca, você já entendeu como testar com um contraexemplo simples!

Resposta

Aditiva: sim.
Homogênea: não (é homogênea apenas para escalares reais).

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