Determine which of the following velocity distributions are possible three-dimensional incompressible flows.
Passo 1
O enunciado fornece um campo de velocidade tridimensional com componentes:
,
e
.
A pergunta é: esse campo de velocidade pode ser um escoamento incompressível em três dimensões? Ou seja, devemos verificar se a condição de incompressibilidade é satisfeita para todo ponto .
A pergunta é: esse campo de velocidade pode ser um escoamento incompressível em três dimensões? Ou seja, devemos verificar se a condição de incompressibilidade é satisfeita para todo ponto
Passo 2
O que significa “incompressível” aqui? Em fluido incompressível a densidade local não muda com o tempo por efeito do escoamento; na forma matemática de campo de velocidade isso fica traduzido pela divergência nula. A condição (fórmula) é:
Explicando as notações:
é o vetor velocidade;
é a derivada parcial de
em relação a
(tratando
como constantes), e assim por diante. Se essa soma não for identicamente zero para todos os
, o escoamento não é incompressível.
Passo 3
Calculo de
. Temos
. Ao derivar em relação a
,
é constante (pois não depende de
) e a derivada de
em relação a
é
(produto com
tratado como constante). Logo:
Passo 4
Calculo de
. Temos
. Derivando em relação a
:
- A derivada de
em relação a é (pois é constante aqui). - A derivada de
em relação a é (novamente e são constantes).
Somando:
Passo 5
Calculo de
. Temos
. Derivando em relação a
:
- A derivada de
em relação a é (regra da potência: , multiplicado por dá ). - A derivada de
em relação a é (não depende de ).
Portanto:
Passo 6
Somando as três parcelas para obter a divergência:
Agrupando termos semelhantes:
Passo 7
Análise do resultado: para que o campo fosse incompressível precisaríamos ter
para todo
. A expressão encontrada
não é identicamente zero — depende de
e
de forma não-trivial. Por exemplo, em
a divergência vale
; em
vale
. Logo, o campo não satisfaz a condição de incompressibilidade globalmente. (Observação pedagógica: poderia existir uma superfície ou conjunto de pontos onde a divergência seja zero, mas isso não basta — precisamos de divergência nula em todo o domínio do escoamento.)
Passo 8
Dica prática para a prova: se te derem um campo velocidade e pedirem se é incompressível, calcule rapidamente
,
,
e some. Se a soma simplificar para uma expressão que depende de
não nula identicamente, responda que não é incompressível e mostre a divergência. Se quiser transformar um campo em solenoidal (didaticamente), você pode ajustar uma das componentes — por exemplo escolher
tal que
e integrar em
; mas o enunciado original não pede correção, só verificação.
Resposta
Não;
(não é nulo para todo
).