Determine which of the following velocity distributions are possible three-dimensional incompressible flows.
u=2 y^{2}+2 x z ; v=-2 x y+6 x^{2} y z ; w=3 x^{2} z^{2}+x^{3} y^{4}

Passo 1

O enunciado fornece um campo de velocidade tridimensional com componentes:
u=2 y^{2}+2 x z, v=-2 x y+6 x^{2} y z e w=3 x^{2} z^{2}+x^{3} y^{4}.
A pergunta é: esse campo de velocidade pode ser um escoamento incompressível em três dimensões? Ou seja, devemos verificar se a condição de incompressibilidade é satisfeita para todo ponto (x,y,z).

Passo 2

O que significa “incompressível” aqui? Em fluido incompressível a densidade local não muda com o tempo por efeito do escoamento; na forma matemática de campo de velocidade isso fica traduzido pela divergência nula. A condição (fórmula) é:
\nabla\cdot\mathbf{u}=\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}+\frac{\partial w}{\partial z}=0.
Explicando as notações: \mathbf{u}=(u,v,w) é o vetor velocidade; \partial u/\partial x é a derivada parcial de u em relação a x (tratando y,z como constantes), e assim por diante. Se essa soma não for identicamente zero para todos os (x,y,z), o escoamento não é incompressível.

Passo 3

Calculo de \partial u/\partial x. Temos u=2 y^{2}+2 x z. Ao derivar em relação a x, 2y^2 é constante (pois não depende de x) e a derivada de 2 x z em relação a x é 2z (produto com z tratado como constante). Logo:
\frac{\partial u}{\partial x}=2z.

Passo 4

Calculo de \partial v/\partial y. Temos v=-2 x y+6 x^{2} y z. Derivando em relação a y:
  • A derivada de -2 x y em relação a y é -2x (pois x é constante aqui).
  • A derivada de 6 x^{2} y z em relação a y é 6 x^{2} z (novamente x e z são constantes).
    Somando:
\frac{\partial v}{\partial y}=-2x+6 x^{2} z.

Passo 5

Calculo de \partial w/\partial z. Temos w=3 x^{2} z^{2}+x^{3} y^{4}. Derivando em relação a z:
  • A derivada de 3 x^{2} z^{2} em relação a z é 6 x^{2} z (regra da potência: d(z^2)/dz = 2z, multiplicado por 3x^2 6x^2 z).
  • A derivada de x^{3} y^{4} em relação a z é 0 (não depende de z).
    Portanto:
\frac{\partial w}{\partial z}=6 x^{2} z.

Passo 6

Somando as três parcelas para obter a divergência:
\nabla\cdot\mathbf{u}=\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}+\frac{\partial w}{\partial z} =2z + (-2x+6 x^{2} z) + 6 x^{2} z.
Agrupando termos semelhantes:
\nabla\cdot\mathbf{u}=-2x + 2z + 12 x^{2} z.

Passo 7

Análise do resultado: para que o campo fosse incompressível precisaríamos ter \nabla\cdot\mathbf{u}=0 para todo (x,y,z). A expressão encontrada -2x + 2z + 12 x^{2} z não é identicamente zero — depende de x e z de forma não-trivial. Por exemplo, em (x,y,z)=(1,0,0) a divergência vale -2\neq0; em (0,0,1) vale 2\neq0. Logo, o campo não satisfaz a condição de incompressibilidade globalmente. (Observação pedagógica: poderia existir uma superfície ou conjunto de pontos onde a divergência seja zero, mas isso não basta — precisamos de divergência nula em todo o domínio do escoamento.)

Passo 8

Dica prática para a prova: se te derem um campo velocidade e pedirem se é incompressível, calcule rapidamente \partial u/\partial x, \partial v/\partial y, \partial w/\partial z e some. Se a soma simplificar para uma expressão que depende de x,y,z não nula identicamente, responda que não é incompressível e mostre a divergência. Se quiser transformar um campo em solenoidal (didaticamente), você pode ajustar uma das componentes — por exemplo escolher w tal que \partial w/\partial z = -(\partial u/\partial x+\partial v/\partial y) e integrar em z; mas o enunciado original não pede correção, só verificação.

Resposta

Não; \nabla\cdot\mathbf{u}=-2x+2z+12x^{2}z\neq0 (não é nulo para todo (x,y,z)).

Exercícios relacionados