Determine se
é solução da equação diferencial
Passo 1
O enunciado dá a curva implícita
e pede para determinar se ela é solução da equação diferencial
Informações e o que é pedido:
- A curva fornecida é
. - A equação diferencial envolve
e a derivada . - A pergunta é: ao tomar
definido por (ou seja, dada por essa relação), a substituição na equação diferencial satisfaz a igualdade para todos os do domínio? (ou seja, a curva é solução da EDO).
Passo 2
Isolar
e calcular
(maneira direta). Da relação
isolamos
:
Agora aplicamos a regra de derivação de potências: se
então
. Aqui
e
, portanto
Observação didática: também poderíamos ter feito diferenciação implícita de
. Derivando ambos os lados em relação a
,
chegando ao mesmo resultado.
Passo 3
Calcular cada termo da equação diferencial usando
e
que encontramos. Primeiro,
Depois,
E finalmente, usando
,
Passo 4
Somar os três termos para verificar a igualdade da EDO:
Agora simplificar a soma. Note que
, então
Portanto a expressão da equação diferencial é identicamente zero para todo
.
Passo 5
Interpretação e domínio: a função
é polinomial, diferenciável para todo
, e ao substituir em
obtém-se
para todo
. Logo a curva dada é solução da equação diferencial em todo
.
Resposta
Sim:
(ou
) é solução da equação diferencial.