Determine se x^{2}+4 y=0 é solução da equação diferencial
\left(\frac{d y}{d x}\right)^{2}+x \frac{d y}{d x}-y=0

Passo 1

O enunciado dá a curva implícita x^{2}+4y=0 e pede para determinar se ela é solução da equação diferencial
\left(\frac{d y}{d x}\right)^{2}+x\frac{d y}{d x}-y=0.
Informações e o que é pedido:
  • A curva fornecida é x^{2}+4y=0.
  • A equação diferencial envolve y e a derivada y'=\dfrac{dy}{dx}.
  • A pergunta é: ao tomar y definido por x^{2}+4y=0 (ou seja, y dada por essa relação), a substituição na equação diferencial satisfaz a igualdade para todos os x do domínio? (ou seja, a curva é solução da EDO).

Passo 2

Isolar y e calcular y' (maneira direta). Da relação x^{2}+4y=0 isolamos y:
y = -\frac{x^{2}}{4}.
Agora aplicamos a regra de derivação de potências: se y(x)=ax^{n} então y'(x)=a n x^{n-1}. Aqui a=-\tfrac{1}{4} e n=2, portanto
\frac{dy}{dx}=y' = -\frac{1}{4}\cdot 2x = -\frac{x}{2}.
Observação didática: também poderíamos ter feito diferenciação implícita de x^{2}+4y=0. Derivando ambos os lados em relação a x,
2x + 4\frac{dy}{dx}=0 \quad\Rightarrow\quad \frac{dy}{dx}=-\frac{x}{2},
chegando ao mesmo resultado.

Passo 3

Calcular cada termo da equação diferencial usando y e y' que encontramos. Primeiro,
\left(\frac{dy}{dx}\right)^{2}=\left(-\frac{x}{2}\right)^{2}=\frac{x^{2}}{4}.
Depois,
x\frac{dy}{dx}=x\left(-\frac{x}{2}\right)=-\frac{x^{2}}{2}.
E finalmente, usando y=-\dfrac{x^{2}}{4},
-y=-\left(-\frac{x^{2}}{4}\right)=\frac{x^{2}}{4}.

Passo 4

Somar os três termos para verificar a igualdade da EDO:
\left(\frac{dy}{dx}\right)^{2}+x\frac{dy}{dx}-y = \frac{x^{2}}{4} - \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{2}}{4}.
Agora simplificar a soma. Note que \dfrac{x^{2}}{4}+\dfrac{x^{2}}{4}=\dfrac{x^{2}}{2}, então
\frac{x^{2}}{4} - \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{2}}{4} = \frac{x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{2} = 0.
Portanto a expressão da equação diferencial é identicamente zero para todo x.

Passo 5

Interpretação e domínio: a função y=-\dfrac{x^{2}}{4} é polinomial, diferenciável para todo x\in\mathbb{R}, e ao substituir em \left(\dfrac{dy}{dx}\right)^{2}+x\dfrac{dy}{dx}-y obtém-se 0 para todo x. Logo a curva dada é solução da equação diferencial em todo \mathbb{R}.

Resposta

Sim: x^{2}+4y=0 (ou y=-\tfrac{x^{2}}{4}) é solução da equação diferencial.

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