Resolver os problemas de valor inicial
\left\{\begin{array}{l}\frac{d y}{d x}=-\frac{y}{x} \y(1)=2\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá um problema de valor inicial e pede a função y(x) que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial. Escrevendo claramente o que foi dado:
  • Equação diferencial: \dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{y}{x}.
  • Condição inicial: y(1)=2.
O objetivo é encontrar a solução y(x) que satisfaça a equação para x em algum intervalo que contém x=1 e que também satisfaça y(1)=2.

Passo 2

Escolha do método. A equação \dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{y}{x} pode ser tratada de duas maneiras naturais: (i) como equação separável, ou (ii) como equação linear de primeira ordem homogênea. Vou usar o método das variáveis separáveis porque é o mais direto aqui: os termos em y e em x podem ser separados facilmente para integrar. (Mais adiante mostro, rapidinho, a ideia via fator integrante para confirmação.)

Passo 3

Separar variáveis. Partindo de
\frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x},
posso dividir ambos os lados por y (assumindo y\neq0 no intervalo considerado; trataremos o caso constante separadamente) e multiplicar por dx, obtendo
\frac{1}{y}\,dy = -\frac{1}{x}\,dx.
Agora as variáveis estão separadas: todos os termos em y à esquerda e todos os termos em x à direita.

Passo 4

Integrar ambos os lados. Usa-se a primitiva de 1/y e de 1/x:
\int \frac{1}{y}\,dy = \int -\frac{1}{x}\,dx.
As integrais produzem logaritmos (mais uma constante de integração):
\ln|y| = -\ln|x| + C,
onde C é uma constante real arbitrária.
Explicando a etapa da integração: \dfrac{d}{dy}(\ln|y|)=1/y para y\neq0; análogo para x. O valor absoluto aparece porque o logaritmo natural está definido para argumentos positivos, e a primitiva de 1/t é \ln|t|.

Passo 5

Simplificar a relação logarítmica e resolver para y. Somando \ln|x| em ambos os lados:
\ln|y| + \ln|x| = C.
Usando a propriedade dos logaritmos \ln|y|+\ln|x|=\ln(|x||y|)=\ln|xy|, obtemos
\ln|xy| = C.
Exponenciando ambos os lados:
|xy| = e^{C}.
Denotando K := e^{C}>0, temos |xy|=K, isto é xy = \pm K. Podemos agrupar o sinal na constante e escrever a solução geral de forma mais simples como
y = \frac{C_1}{x},
onde C_1 é uma constante real (podendo ser positiva, negativa ou zero). Esta é a família de soluções gerais. Observe também a solução constante y\equiv 0 está incluída tomando C_1=0.

Passo 6

Discussão de domínio e do valor absoluto. A manipulação com \ln|x| exige x\neq0. Como a condição inicial é em x=1, estamos interessados no intervalo que contém x=1; portanto podemos escolher o ramo x>0 e dispensar o valor absoluto em x. Assim, na vizinhança de x=1 a solução tem a forma y=C_1/x com x>0.

Passo 7

Aplicar a condição inicial para determinar C_1. A condição y(1)=2 implica
2 = y(1) = \frac{C_1}{1} = C_1.
Portanto C_1 = 2.

Passo 8

Escrever a solução particular que satisfaz a condição inicial. Substituindo C_1=2 na solução geral obtida:
y(x) = \frac{2}{x},\qquad x>0.

Passo 9

Verificação rápida (auto-confiança): calcular \dfrac{dy}{dx} para confirmar que satisfaz a equação original. Para y(x)=2/x,
\frac{dy}{dx} = -\frac{2}{x^2}.
E o lado direito da equação original é -\dfrac{y}{x} = -\dfrac{2/x}{x} = -\dfrac{2}{x^2}. São iguais, logo a solução está correta; e y(1)=2 é satisfeita.

Passo 10

Observação sobre unicidade: a equação é linear com coeficientes contínuos em qualquer intervalo que não contenha x=0, e a condição inicial em x=1 garante existência e unicidade da solução no intervalo máximo que contém 1 e não cruza 0 (tipicamente x>0). Então a solução particular encontrada é única nesse intervalo.

Resposta

y(x)=\dfrac{2}{x},\quad x>0

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