Resolver os problemas de valor inicial
Passo 1
O enunciado dá um problema de valor inicial e pede a função
que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial. Escrevendo claramente o que foi dado:
- Equação diferencial:
. - Condição inicial:
.
O objetivo é encontrar a solução
que satisfaça a equação para
em algum intervalo que contém
e que também satisfaça
.
Passo 2
Escolha do método. A equação
pode ser tratada de duas maneiras naturais: (i) como equação separável, ou (ii) como equação linear de primeira ordem homogênea. Vou usar o método das variáveis separáveis porque é o mais direto aqui: os termos em
e em
podem ser separados facilmente para integrar. (Mais adiante mostro, rapidinho, a ideia via fator integrante para confirmação.)
Passo 3
Separar variáveis. Partindo de
posso dividir ambos os lados por
(assumindo
no intervalo considerado; trataremos o caso constante separadamente) e multiplicar por
, obtendo
Agora as variáveis estão separadas: todos os termos em
à esquerda e todos os termos em
à direita.
Passo 4
Integrar ambos os lados. Usa-se a primitiva de
e de
:
As integrais produzem logaritmos (mais uma constante de integração):
onde
é uma constante real arbitrária.
Explicando a etapa da integração:
para
; análogo para
. O valor absoluto aparece porque o logaritmo natural está definido para argumentos positivos, e a primitiva de
é
.
Passo 5
Simplificar a relação logarítmica e resolver para
. Somando
em ambos os lados:
Usando a propriedade dos logaritmos
, obtemos
Exponenciando ambos os lados:
Denotando
, temos
, isto é
. Podemos agrupar o sinal na constante e escrever a solução geral de forma mais simples como
onde
é uma constante real (podendo ser positiva, negativa ou zero). Esta é a família de soluções gerais. Observe também a solução constante
está incluída tomando
.
Passo 6
Discussão de domínio e do valor absoluto. A manipulação com
exige
. Como a condição inicial é em
, estamos interessados no intervalo que contém
; portanto podemos escolher o ramo
e dispensar o valor absoluto em
. Assim, na vizinhança de
a solução tem a forma
com
.
Passo 7
Aplicar a condição inicial para determinar
. A condição
implica
Portanto
.
Passo 8
Escrever a solução particular que satisfaz a condição inicial. Substituindo
na solução geral obtida:
Passo 9
Verificação rápida (auto-confiança): calcular
para confirmar que satisfaz a equação original. Para
,
E o lado direito da equação original é
. São iguais, logo a solução está correta; e
é satisfeita.
Passo 10
Observação sobre unicidade: a equação é linear com coeficientes contínuos em qualquer intervalo que não contenha
, e a condição inicial em
garante existência e unicidade da solução no intervalo máximo que contém
e não cruza
(tipicamente
). Então a solução particular encontrada é única nesse intervalo.