Questão 1(2,5) : Calcule a integral dupla
\iint_{D}\left(3 y^{2}-2 y+x-1\right) d A
em que D é a região delimitada pelo triângulo de vértices (-1,2),(1,-2) e (1,2).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{D}\left(3 y^{2}-2 y+x-1\right)\,dA
onde D é a região delimitada pelo triângulo de vértices (-1,2), (1,-2) e (1,2).
Informações dadas e o que é pedido:
  • A região D é o triângulo cujos vértices são (-1,2), (1,-2) e (1,2).
  • A função a ser integrada é f(x,y)=3y^{2}-2y+x-1.
  • Deve-se calcular o valor numérico da integral dupla sobre D.

Passo 2

Vamos representar a região D de forma que possamos escrever a integral dupla como uma integral iterada. Primeiro, descrevemos os lados do triângulo.
Os vértices são (-1,2), (1,-2) e (1,2). Observações importantes:
  • Há um lado vertical entre (1,-2) e (1,2), que é a reta x=1.
  • Há um lado horizontal entre (-1,2) e (1,2), que é a reta y=2.
  • O terceiro lado liga (-1,2) a (1,-2). A equação dessa reta é obtida assim:
    Calcule a inclinação \displaystyle m=\frac{-2-2}{1-(-1)}=\frac{-4}{2}=-2.
    Usando o ponto (-1,2), a reta satisfaz \,y-2=-2(x+1)\,, portanto y=-2x.Verificação rápida: para x=1 temos y=-2, ok; para x=-1 temos y=2, ok.
Agora, para cada x entre -1 e 1 a região D tem y variando da reta inferior y=-2x até a reta superior y=2. Assim podemos escrever a integral iterada na ordem dy\,dx:
\iint_{D}\left(3 y^{2}-2 y+x-1\right)\,dA = \int_{x=-1}^{1}\left[\int_{y=-2x}^{2}\left(3 y^{2}-2 y+x-1\right)\,dy\right]dx.
Explicação didática curta: escrever a integral dupla como \int_a^b \int_{g_1(x)}^{g_2(x)} f(x,y)\,dy\,dx significa "para cada x entre a e b, somo os valores de f ao longo do segmento vertical em y entre g_1(x) e g_2(x)".

Passo 3

Calculemos a integral interna em y. Primeiro encontramos uma primitiva em y de 3y^{2}-2y+x-1. Integramos termo a termo (lembrando que x é tratado como constante quando integramos em y):
  • \displaystyle \int 3y^{2}\,dy = y^{3}.
  • \displaystyle \int (-2y)\,dy = -y^{2}.
  • \displaystyle \int x\,dy = x y.
  • \displaystyle \int (-1)\,dy = -y.
Somando:
\int\left(3 y^{2}-2 y+x-1\right)\,dy = y^{3}-y^{2}+(x-1)y.
Agora avaliamos essa primitiva entre y=-2x e y=2:
\Bigl[y^{3}-y^{2}+(x-1)y\Bigr]_{y=-2x}^{y=2}.
Avaliação em y=2:
2^{3}-2^{2}+(x-1)\cdot 2 = 8-4+2(x-1)=4+2x-2=2+2x.
Avaliação em y=-2x:
(-2x)^{3}-(-2x)^{2}+(x-1)(-2x) = -8x^{3}-4x^{2}-2x(x-1).
Simplificando o último termo: -2x(x-1)=-2x^{2}+2x. Então
(-2x)^{3}-(-2x)^{2}+(x-1)(-2x) = -8x^{3}-4x^{2}-2x^{2}+2x = -8x^{3}-6x^{2}+2x.
Subtraindo (valor em 2 menos valor em -2x):
(2+2x)-\bigl(-8x^{3}-6x^{2}+2x\bigr)=2+2x+8x^{3}+6x^{2}-2x = 2+8x^{3}+6x^{2}.
Observe que os 2x se cancelaram.
Portanto a integral interna resulta na função de x
\int_{y=-2x}^{2}\left(3 y^{2}-2 y+x-1\right)\,dy = 8x^{3}+6x^{2}+2.

Passo 4

Agora calculamos a integral externa em x:
I=\int_{x=-1}^{1}\bigl(8x^{3}+6x^{2}+2\bigr)\,dx.
Integramos termo a termo:
  • \displaystyle \int 8x^{3}\,dx = 2x^{4} (pois 8/4=2).
  • \displaystyle \int 6x^{2}\,dx = 2x^{3} (pois 6/3=2).
  • \displaystyle \int 2\,dx = 2x.
Assim uma primitiva é 2x^{4}+2x^{3}+2x. Avaliamos entre -1 e 1:
\Bigl[2x^{4}+2x^{3}+2x\Bigr]_{-1}^{1}.
Avaliação em x=1:
2\cdot 1^{4}+2\cdot 1^{3}+2\cdot 1 = 2+2+2=6.
Avaliação em x=-1:
2\cdot (-1)^{4}+2\cdot(-1)^{3}+2\cdot(-1) = 2-2-2 = -2.
Subtraindo:
I = 6 - (-2) = 8.

Passo 5

Checagem alternativa (rápida e útil na prova): depois de integrar em y obtivemos a função 8x^{3}+6x^{2}+2. Note que o termo 8x^{3} é ímpar e a integração de uma função ímpar em um intervalo simétrico [-1,1] é zero. Assim
\int_{-1}^{1}8x^{3}\,dx=0,
e resta
\int_{-1}^{1}(6x^{2}+2)\,dx = \left[2x^{3}+2x\right]_{-1}^{1} = (2+2)-(-2-2)=8,
mesmo resultado. Essa observação pode poupar tempo em prova quando surgir simetria.

Resposta

\,8

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