Questão
: Calcule a integral dupla
em que
é a região delimitada pelo triângulo de vértices
e
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
onde
é a região delimitada pelo triângulo de vértices
e
.
Informações dadas e o que é pedido:
- A região
é o triângulo cujos vértices são , e . - A função a ser integrada é
. - Deve-se calcular o valor numérico da integral dupla sobre
.
Passo 2
Vamos representar a região
de forma que possamos escrever a integral dupla como uma integral iterada. Primeiro, descrevemos os lados do triângulo.
Os vértices são
,
e
. Observações importantes:
- Há um lado vertical entre
e , que é a reta . - Há um lado horizontal entre
e , que é a reta . - O terceiro lado liga
a . A equação dessa reta é obtida assim:
Calcule a inclinação.
Usando o ponto, a reta satisfaz , portanto Verificação rápida: para temos , ok; para temos , ok.
Agora, para cada
entre
e
a região
tem
variando da reta inferior
até a reta superior
. Assim podemos escrever a integral iterada na ordem
:
Explicação didática curta: escrever a integral dupla como
significa "para cada
entre
e
, somo os valores de
ao longo do segmento vertical em
entre
e
".
Passo 3
Calculemos a integral interna em
. Primeiro encontramos uma primitiva em
de
. Integramos termo a termo (lembrando que
é tratado como constante quando integramos em
):
-
. -
. -
. -
.
Somando:
Agora avaliamos essa primitiva entre
e
:
Avaliação em
:
Avaliação em
:
Simplificando o último termo:
. Então
Subtraindo (valor em
menos valor em
):
Observe que os
se cancelaram.
Portanto a integral interna resulta na função de
Passo 4
Agora calculamos a integral externa em
:
Integramos termo a termo:
-
(pois ). -
(pois ). -
.
Assim uma primitiva é
. Avaliamos entre
e
:
Avaliação em
:
Avaliação em
:
Subtraindo:
Passo 5
Checagem alternativa (rápida e útil na prova): depois de integrar em
obtivemos a função
. Note que o termo
é ímpar e a integração de uma função ímpar em um intervalo simétrico
é zero. Assim
e resta
mesmo resultado. Essa observação pode poupar tempo em prova quando surgir simetria.