Determine
e
da v.a.
com função densidade de probabilidade dada por:
para
e
para
.
Passo 1
O enunciado dá a função densidade de probabilidade
As perguntas pedidas são:
- Determine
. - Determine
.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
Passo 2
Verificação rápida: antes de calcular esperanças, é bom confirmar que
é de fato uma densidade (integra para 1). Calculamos a integral imprópria
Fazemos a substituição
. Então
e os limites vão de
a
. A integral fica
Portanto
é uma densidade válida.
Passo 3
Fórmula e ideia para
. A definição de esperança (valor esperado) de uma v.a. contínua
com densidade
é
No nosso caso a integral reduz-se a
Vou calcular essa integral usando a substituição
, que simplifica as potências no denominador.
Passo 4
Cálculo de
com substituição. Fazendo
temos
e
. Os limites:
,
. Então
Calculamos as duas integrais separadamente:
Substituindo:
Passo 5
Fórmula e ideia para
. A variância é definida por
Então preciso calcular
e depois usar
que já encontrei.
Passo 6
Cálculo de
. Montamos a integral
Usamos novamente
, com
e
. Assim
Calculamos termo a termo:
Logo
Passo 7
Cálculo final da variância. Usando
e
,
Passo 8
Resumo rápido e palavra de ânimo: encontramos que a média é pequena (
) e a variância finita (
). Se você estivesse com pressa na prova, o truque chave aqui é a substituição
, que transforma potências no denominador em potências simples de
e permite integrar termo a termo — memorizando integrais de
para
você resolve rápido.