Determine E(X) e \operatorname{Var}(X) da v.a. X com função densidade de probabilidade dada por:
f(x)=\frac{3}{(x+1)^{4}} para x \geq 0 e f(x)=0 para x<0.

Passo 1

O enunciado dá a função densidade de probabilidade
f(x)=\frac{3}{(x+1)^{4}}\\ \text{para}\\ x\ge 0,\qquad f(x)=0\\ \text{para}\\ x<0.
As perguntas pedidas são:
  • Determine E(X).
  • Determine \operatorname{Var}(X).
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
\text{o domínio da v.a. é }[0,\infty),\quad\text{e a densidade é }f(x)=\frac{3}{(x+1)^{4}}\\ \text{em }[0,\infty).íéé

Passo 2

Verificação rápida: antes de calcular esperanças, é bom confirmar que f é de fato uma densidade (integra para 1). Calculamos a integral imprópria
\int_{0}^{\infty}\frac{3}{(x+1)^{4}}\,dx.
Fazemos a substituição u=x+1. Então du=dx e os limites vão de u=1 a u=\infty. A integral fica
\int_{1}^{\infty}\frac{3}{u^{4}}\,du=3\left[\frac{u^{-3}}{-3}\right]_{1}^{\infty}=3\left(0-(-\tfrac{1}{3})\right)=1.
Portanto f é uma densidade válida.

Passo 3

Fórmula e ideia para E(X). A definição de esperança (valor esperado) de uma v.a. contínua X com densidade f é
E(X)=\int_{-\infty}^{\infty} x\,f(x)\,dx.
No nosso caso a integral reduz-se a
E(X)=\int_{0}^{\infty} x\cdot\frac{3}{(x+1)^{4}}\,dx.
Vou calcular essa integral usando a substituição u=x+1, que simplifica as potências no denominador.

Passo 4

Cálculo de E(X) com substituição. Fazendo u=x+1 temos x=u-1 e dx=du. Os limites: x=0\Rightarrow u=1, x\to\infty\Rightarrow u\to\infty. Então
E(X)=\int_{1}^{\infty} (u-1)\cdot\frac{3}{u^{4}}\,du =3\int_{1}^{\infty}\left(\frac{u}{u^{4}}-\frac{1}{u^{4}}\right)\,du =3\int_{1}^{\infty}\left(\frac{1}{u^{3}}-\frac{1}{u^{4}}\right)\,du.
Calculamos as duas integrais separadamente:
\int_{1}^{\infty}\frac{1}{u^{3}}\,du=\left[-\tfrac{1}{2}u^{-2}\right]_{1}^{\infty}=\tfrac{1}{2},
\int_{1}^{\infty}\frac{1}{u^{4}}\,du=\left[-\tfrac{1}{3}u^{-3}\right]_{1}^{\infty}=\tfrac{1}{3}.
Substituindo:
E(X)=3\left(\tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{3}\right)=3\cdot\tfrac{1}{6}=\tfrac{1}{2}.

Passo 5

Fórmula e ideia para \operatorname{Var}(X). A variância é definida por
\operatorname{Var}(X)=E\bigl(X^{2}\bigr)-\bigl(E(X)\bigr)^{2}.
Então preciso calcular E(X^{2})=\int_{0}^{\infty} x^{2}f(x)\,dx e depois usar E(X)=\tfrac{1}{2} que já encontrei.

Passo 6

Cálculo de E(X^{2}). Montamos a integral
E(X^{2})=\int_{0}^{\infty} x^{2}\cdot\frac{3}{(x+1)^{4}}\,dx.
Usamos novamente u=x+1, com x=u-1 e x^{2}=(u-1)^{2}=u^{2}-2u+1. Assim
E(X^{2})=3\int_{1}^{\infty}\frac{u^{2}-2u+1}{u^{4}}\,du =3\int_{1}^{\infty}\left(\frac{1}{u^{2}}-\frac{2}{u^{3}}+\frac{1}{u^{4}}\right)\,du.
Calculamos termo a termo:
\int_{1}^{\infty}\frac{1}{u^{2}}\,du=\left[-u^{-1}\right]_{1}^{\infty}=1,
\int_{1}^{\infty}\frac{1}{u^{3}}\,du=\tfrac{1}{2}\quad\text{(já calculada antes)},á
\int_{1}^{\infty}\frac{1}{u^{4}}\,du=\tfrac{1}{3}\quad\text{(já calculada antes)}.á
Logo
E(X^{2})=3\left(1-2\cdot\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{3}\right) =3\left(1-1+\tfrac{1}{3}\right)=3\cdot\tfrac{1}{3}=1.

Passo 7

Cálculo final da variância. Usando E(X^{2})=1 e E(X)=\tfrac{1}{2},
\operatorname{Var}(X)=1-\left(\tfrac{1}{2}\right)^{2}=1-\tfrac{1}{4}=\tfrac{3}{4}.

Passo 8

Resumo rápido e palavra de ânimo: encontramos que a média é pequena ( \tfrac{1}{2}) e a variância finita ( \tfrac{3}{4}). Se você estivesse com pressa na prova, o truque chave aqui é a substituição u=x+1, que transforma potências no denominador em potências simples de u e permite integrar termo a termo — memorizando integrais de u^{-p} para p>1 você resolve rápido.

Resposta

E(X)=\dfrac{1}{2}
\operatorname{Var}(X)=\dfrac{3}{4}

Exercícios relacionados