Determine
e
da v.a.
com função densidade de probabilidade dada por:
para
e
para
.
Passo 1
O enunciado pede para determinar a esperança
e a variância
da variável aleatória contínua
cuja densidade de probabilidade é dada por:
e
Informações relevantes dadas:
- A função densidade é
no suporte . - Precisamos encontrar
e .
Passo 2
Primeiro vou lembrar o que são esperança e variância para variáveis contínuas e como calcular na prática.
Definição de esperança: para uma v.a. contínua
com densidade
,
No nosso caso o suporte é
, então a integral vira integral de
a
.
Definição de variância: a variância é
Logo, para obter a variância precisamos de
além de
.
Passo 3
Calcular
. Substituindo
na fórmula da esperança:
Portanto precisamos avaliar a integral imprópria
.
Passo 4
Cálculo de
por integração por partes (duas vezes).
Recordando a fórmula de integração por partes: se
e
, então
Aplicamos com
e
. Então
e
. Assim
Agora observe que
(a exponencial decai mais rápido que qualquer polinômio), e em
o termo
vale
. Então o primeiro termo é
. Ficamos com
Passo 5
Agora calcular
. Repetimos integração por partes com
e
. Então
e
. Assim
Novamente
e em
o termo
é
. Logo
Passo 6
Voltando ao resultado do Passo 4:
Portanto
Passo 7
Calcular
(precisa-se para a variância). Pela definição:
Vamos calcular
. Podemos usar uma identidade por partes que dá uma relação de recorrência:
Aplicando com
,
Já sabemos do Passo 6 que
. Assim
Logo
Passo 8
Calcular a variância usando
. Substituindo os valores encontrados: