Determine E(X) e \operatorname{Var}(X) da v.a. X com função densidade de probabilidade dada por:
f(x)=x e^{-x} para x \geq 0 e f(x)=0 para x<0.

Passo 1

O enunciado pede para determinar a esperança E(X) e a variância \operatorname{Var}(X) da variável aleatória contínua X cuja densidade de probabilidade é dada por:
f(x)=x e^{-x}\quad\text{para }x\ge 0,
e
f(x)=0\quad\text{para }x<0.
Informações relevantes dadas:
  • A função densidade é f(x)=x e^{-x} no suporte [0,\infty).
  • Precisamos encontrar E(X) e \operatorname{Var}(X).

Passo 2

Primeiro vou lembrar o que são esperança e variância para variáveis contínuas e como calcular na prática.
Definição de esperança: para uma v.a. contínua X com densidade f,
E(X)=\int_{-\infty}^{\infty} x\,f(x)\,dx.
No nosso caso o suporte é [0,\infty), então a integral vira integral de 0 a \infty.
Definição de variância: a variância é
\operatorname{Var}(X)=E\big[(X-E(X))^2\big]=E(X^2)-\big(E(X)\big)^2.
Logo, para obter a variância precisamos de E(X^2) além de E(X).

Passo 3

Calcular E(X). Substituindo f na fórmula da esperança:
E(X)=\int_{0}^{\infty} x\cdot f(x)\,dx=\int_{0}^{\infty} x\cdot \big(x e^{-x}\big)\,dx=\int_{0}^{\infty} x^{2} e^{-x}\,dx.
Portanto precisamos avaliar a integral imprópria \displaystyle\int_{0}^{\infty} x^{2} e^{-x}\,dx.

Passo 4

Cálculo de \displaystyle\int_{0}^{\infty} x^{2} e^{-x}\,dx por integração por partes (duas vezes).
Recordando a fórmula de integração por partes: se u=u(x) e dv=v'(x)\,dx, então
\int u\,dv=uv-\int v\,du.
Aplicamos com u=x^{2} e dv=e^{-x}\,dx. Então du=2x\,dx e v=-e^{-x}. Assim
\int_{0}^{\infty} x^{2} e^{-x}\,dx = \Big[-x^{2} e^{-x}\Big]_{0}^{\infty} + \int_{0}^{\infty} 2x e^{-x}\,dx.
Agora observe que \displaystyle\lim_{t\to\infty} t^{2} e^{-t}=0 (a exponencial decai mais rápido que qualquer polinômio), e em x=0 o termo -x^{2}e^{-x} vale 0. Então o primeiro termo é 0-0=0. Ficamos com
\int_{0}^{\infty} x^{2} e^{-x}\,dx = 2\int_{0}^{\infty} x e^{-x}\,dx.

Passo 5

Agora calcular \displaystyle\int_{0}^{\infty} x e^{-x}\,dx. Repetimos integração por partes com u=x e dv=e^{-x}\,dx. Então du=dx e v=-e^{-x}. Assim
\int_{0}^{\infty} x e^{-x}\,dx = \Big[-x e^{-x}\Big]_{0}^{\infty} + \int_{0}^{\infty} e^{-x}\,dx.
Novamente \displaystyle\lim_{t\to\infty} t e^{-t}=0 e em 0 o termo -x e^{-x} é 0. Logo
\int_{0}^{\infty} x e^{-x}\,dx = \int_{0}^{\infty} e^{-x}\,dx = \Big[-e^{-x}\Big]_{0}^{\infty} = 1.

Passo 6

Voltando ao resultado do Passo 4:
\int_{0}^{\infty} x^{2} e^{-x}\,dx = 2\int_{0}^{\infty} x e^{-x}\,dx = 2\cdot 1 = 2.
Portanto
E(X)=2.

Passo 7

Calcular E(X^{2}) (precisa-se para a variância). Pela definição:
E(X^{2})=\int_{0}^{\infty} x^{2} f(x)\,dx=\int_{0}^{\infty} x^{2}\big(x e^{-x}\big)\,dx=\int_{0}^{\infty} x^{3} e^{-x}\,dx.
Vamos calcular \displaystyle\int_{0}^{\infty} x^{3} e^{-x}\,dx. Podemos usar uma identidade por partes que dá uma relação de recorrência:
\int_{0}^{\infty} x^{n} e^{-x}\,dx = n\int_{0}^{\infty} x^{n-1} e^{-x}\,dx\quad\text{para inteiro }n\ge 1.
Aplicando com n=3,
\int_{0}^{\infty} x^{3} e^{-x}\,dx = 3\int_{0}^{\infty} x^{2} e^{-x}\,dx.
Já sabemos do Passo 6 que \displaystyle\int_{0}^{\infty} x^{2} e^{-x}\,dx=2. Assim
\int_{0}^{\infty} x^{3} e^{-x}\,dx = 3\cdot 2 = 6.
Logo
E(X^{2})=6.

Passo 8

Calcular a variância usando \operatorname{Var}(X)=E(X^{2})-\big(E(X)\big)^{2}. Substituindo os valores encontrados:
\operatorname{Var}(X)=6-(2)^{2}=6-4=2.

Resposta

E(X)=2
\operatorname{Var}(X)=2

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