Seja f(x) uma função densidade de probabilidade dada por:
f(x)=\left\{\begin{array}{cc} x, & \text { se } 0<x<1 \\\\ 2-x, & \text { se } 1 \leq x \leq 2 \\\\ 0, & \text { para outros valores de } x \end{array}\right.
Passo 1
O enunciado nos dá a densidade de probabilidade f(x) definida por
O enunciado não listou perguntas explícitas. Para estudar de forma completa (e útil para prova) vou resolver os itens que normalmente são pedidos para uma função densidade:
Verificar se f é uma densidade válida (não-negatividade e integral 1).
Encontrar a função de distribuição acumulada F(x)=P(X\le x).
Calcular a esperança E[X].
Calcular a variância \operatorname{Var}(X).
Determinar a mediana.
Indicar a(s) moda(s).]
Passo 2
Verificar se f é uma densidade válida.
Conceito rápido (aula curta): uma função f é densidade de probabilidade se (i) f(x)\ge 0 para todo x e (ii) \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 1. Aqui vemos à vista que f(x)\ge 0 no suporte 0<x<2 e é zero fora, então basta checar a integral total.
Calculemos a integral em dois trechos (pois f é definida por partes):
Observação didática: F\] é contínua nos pontos de junção (por exemplo em \(x=1 ambas as expressões valem \tfrac{1}{2}; em x=2 o valor é 1), o que é esperado para uma densidade absolutamente contínua.]
Passo 4
Calcular a esperança E[X].
Conceito: para variável contínua X com densidade f, E[X]=\int_{-\infty}^{\infty} x\,f(x)\,dx. Novamente separa-se por trechos.
Determinar a mediana m (valor tal que P(X\le m)=\tfrac{1}{2}).
Usamos a função distribuição F(x). Queremos F(m)=\tfrac{1}{2}.
Para 0<m<1 teríamos \frac{m^{2}}{2}=\frac{1}{2}\Rightarrow m^{2}=1\Rightarrow m=1. Mas m deve estar em (0,1) para usar essa expressão; o resultado m=1 está no limite do intervalo.
Para m=1 usando a definição em 1 temos F(1)=\tfrac{1}{2}.
Portanto a mediana é m=1. (Não há intervalo de mediana: o ponto único 1 satisfaz.)
Passo 7
Determinar a moda (valor onde f atinge máximo).
Observação: f(x)=x cresce em (0,1) e atinge valor próximo a 1 quando x\to 1^{-}. Em [1,2], f(x)=2-x decresce de 1 em x=1 até 0 em x=2. No ponto x=1 o valor é f(1)=2-1=1 (pela segunda definição, já que a primeira exclui 1). Assim o máximo de f é 1 alcançado em x=1. Portanto a moda é 1.