Determine x(t) cujas transformadas de Fourier são dadas por
c) X(j omega)=omega G1(omega-0.5)+(2-omega) G2(omega-2)+(omega-4) G1(omega-3.5)

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente achar a função no tempo X(jomega)=omega,G1(omega-0.5);+;(2-omega),G2(omega-2);+;(omega-4),G1(omega-3.5) cuja Transformada de Fourier é
Conteúdo: transformada de Fourier e duas propriedades-chave:
  1. deslocamento em frequência (modulação no tempo)
  2. multiplicação por (derivação no tempo)
    Vamos usar essas duas pra inverter cada termo e montar .

Passo 2

Propriedade de deslocamento em frequência ⇒ modulação no tempo:
Se Fe^,jomega0 t,g(t) ;=; G(omega - omega0) , então
Ou seja, “tirar ” na frequência é “colocar ” no tempo.

Passo 3

Propriedade de derivada no tempo ⇒ multiplicação por Flg'(t)r = j,omega,G(omega) :
omega,G(omega);long<=ftrightarrow;tfrac1j,ddt,g(t)
Reescrevendo, multiplica por vira derivada dividida por :

Passo 4

Analisando o primeiro termo omega,G1(omega-0.5);long<=ftrightarrow;1j,ddt!l[e^j0.5t,g1(t)r] :
em tempo é .
– multiplicar por equivale a .
Logo,

Passo 5

O segundo termo 2,G2(omega-2);-;omega,G2(omega-2) a gente separa em
(2-omega),G2(omega-2);long<=ftrightarrow;2,e^j2tg2(t);-;1j,ddt!l[e^j2tg2(t)r]
  1. .
  2. .
    Como tem sinal “menos ”, fica

Passo 6

O terceiro omega,G1(omega-3.5);-;4,G1(omega-3.5) fazemos igual:
(omega-4),G1(omega-3.5);long<=ftrightarrow;1j,ddt!l[e^j3.5tg1(t)r];-;4,e^j3.5tg1(t)
  1. .
  2. .
    Como é , o resultado é

Resposta

Somando tudo, a função no tempo é
boxed x(t);=;&1j,ddtl[e^j0.5tg1(t)r] [-0.5em] &+;l(2,e^j2tg2(t);-;tfrac1j,tfracddt[e^j2tg2(t)]r) [-0.5em] &+;l(tfrac1j,tfracddt[e^j3.5tg1(t)];-;4,e^j3.5tg1(t)r)
E é isso aí! Futebol, Netflix e estudar FT nunca mais vai ser a mesma coisa. 😄

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