Determine as transformadas de Fourier dos seguintes sinais
b) x(t)=t e^-|t|

Passo 1

O exercício pede para achar a Transformada de Fourier de
x(t)=t,e^-|t|
Isso é um tópico de série e transformadas de sinais em “Sinais e Sistemas”. Para resolver, a gente vai usar duas ideias principais:
  1. A transformada conhecida de .
  2. A propriedade que diz que multiplicar por no tempo equivale a derivar a transformada em frequência (com um fator ).

Passo 2

Primeiro, lembra a transformada de
g(t)=e^-|t|
Usando a definição
G(omega)=integral-infty^inftye^-|t|e^-jomega t,dt
sabemos (pode ser feito por duas integrais, de G(omega)=21+omega^2 a 0 e de 0 a ) que

Passo 3

Agora a gente usa a propriedade de tempo-multiplicação:
Se t,g(t)long<=ftrightarrow j,ddomegaG(omega) tem transformada X(omega)=jddomega!l[21+omega^2r] , então
Aqui . Então

Passo 4

Basta derivar:
ddomegal(21+omega^2r) =2cdotddomega(1+omega^2)^-1 =2l(-1r)(1+omega^2)^-2cdot2omega =-4omega(1+omega^2)^2
Multiplicando por X(omega) =jl(-4omega(1+omega^2)^2r) =-4j,omega(1+omega^2)^2 , a gente obtém

Resposta

boxedX(omega)=-4j,omega(1+omega^2)^2

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