Determine x e y, sabendo que as matrizes \binom{2 x+5 y}{x-y}= \binom{9}{-1} são iguais.

Passo 1

O enunciado dá a igualdade entre duas matrizes coluna (vetores) de duas entradas. Isso significa que as entradas correspondentes são iguais. As informações dadas são, portanto:
2x+5y=9
x-y=-1
A pergunta é: determinar x e y que satisfazem simultaneamente essas duas equações.

Passo 2

Vamos resolver o sistema formado por essas duas equações. Uma maneira simples é o método da substituição: isolamos uma variável em uma das equações e substituímos na outra. Da segunda equação podemos isolar x. A equação é
x-y=-1.
Somando y em ambos os lados obtemos a expressão de x em função de y.

Passo 3

Isolando x da segunda equação:
x = y-1.
Agora substituímos essa expressão de x na primeira equação \,2x+5y=9\,.

Passo 4

Fazendo a substituição obtemos a equação em y apenas:
2(y-1)+5y=9.
Agora desenvolvemos e combinamos termos semelhantes:
2y-2+5y=9
7y-2=9.
Somando 2 em ambos os lados:
7y=11.
Dividindo por 7:
y=\frac{11}{7}.

Passo 5

Com y=\dfrac{11}{7}, voltamos à expressão x=y-1 para encontrar x:
x=\frac{11}{7}-1=\frac{11}{7}-\frac{7}{7}=\frac{4}{7}.

Passo 6

Vamos checar rapidamente (pra garantir que não escorregamos): calcular 2x+5y com os valores encontrados:
2\cdot\frac{4}{7}+5\cdot\frac{11}{7}=\frac{8}{7}+\frac{55}{7}=\frac{63}{7}=9,
e calcular x-y:
\frac{4}{7}-\frac{11}{7}=-\frac{7}{7}=-1.
As duas equações são satisfeitas, logo os valores estão corretos.

Resposta

x=\dfrac{4}{7}
y=\dfrac{11}{7}

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