\quad Sendo as matrizes A=\left(\begin{array}{cc}2 & 5 \\\\ 12 & -1\end{array}\right) e B=\left(\begin{array}{cc}x-y & x+y \\\\ 2 y-5 & -1\end{array}\right), calcule x e y de modo que A=B^{t}.
Passo 1
O enunciado dá duas matrizes e pede para encontrar x e y de modo que A = B^{t}. Dados fornecidos:
Pergunta: determinar os números x e y tais que A seja igual à transposta de B, isto é, A = B^{t}.]
Passo 2
O que é transposta de uma matriz? Vou explicar devagar e com exemplo para ficar claro. Se temos uma matriz B=\begin{pmatrix}a & b\\[4pt] c & d\end{pmatrix}, a transposta B^{t} é a matriz obtida trocando linhas por colunas. Ou seja,
B^{t}=\begin{pmatrix}a & c\\[4pt] b & d\end{pmatrix}.
Em notação de índices, (B^{t})_{ij}=B_{ji}: a entrada na linha i, coluna j da transposta é a entrada na linha j, coluna i da matriz original.]
Passo 3
Aplique isso à matriz B do enunciado. Em B as entradas são:
Expliquei cada entrada: a posição (1,2) de B^{t} vem de (2,1) de B, etc.]
Passo 4
Agora impomos a igualdade A = B^{t}. Igualdade de matrizes significa que cada entrada correspondente é igual. Comparando termo a termo obtemos o sistema: