\quad Sendo as matrizes A=\left(\begin{array}{cc}2 & 5 \\\\ 12 & -1\end{array}\right) e B=\left(\begin{array}{cc}x-y & x+y \\\\ 2 y-5 & -1\end{array}\right), calcule x e y de modo que A=B^{t}.

Passo 1

O enunciado dá duas matrizes e pede para encontrar x e y de modo que A = B^{t}. Dados fornecidos:
A=\begin{pmatrix}2 & 5 \\[4pt] 12 & -1\end{pmatrix}, \qquad B=\begin{pmatrix}x-y & x+y \\[4pt] 2y-5 & -1\end{pmatrix}.
Pergunta: determinar os números x e y tais que A seja igual à transposta de B, isto é, A = B^{t}.]

Passo 2

O que é transposta de uma matriz? Vou explicar devagar e com exemplo para ficar claro. Se temos uma matriz B=\begin{pmatrix}a & b\\[4pt] c & d\end{pmatrix}, a transposta B^{t} é a matriz obtida trocando linhas por colunas. Ou seja,
B^{t}=\begin{pmatrix}a & c\\[4pt] b & d\end{pmatrix}.
Em notação de índices, (B^{t})_{ij}=B_{ji}: a entrada na linha i, coluna j da transposta é a entrada na linha j, coluna i da matriz original.]

Passo 3

Aplique isso à matriz B do enunciado. Em B as entradas são:
B_{11}=x-y,\quad B_{12}=x+y,\quad B_{21}=2y-5,\quad B_{22}=-1.
Então a transposta B^{t} é
B^{t}=\begin{pmatrix} B_{11} & B_{21}\\[4pt] B_{12} & B_{22} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x-y & 2y-5\\[4pt] x+y & -1 \end{pmatrix}.
Expliquei cada entrada: a posição (1,2) de B^{t} vem de (2,1) de B, etc.]

Passo 4

Agora impomos a igualdade A = B^{t}. Igualdade de matrizes significa que cada entrada correspondente é igual. Comparando termo a termo obtemos o sistema:
\begin{cases} \text{(1,1): } & 2 = x - y,\\[6pt] \text{(1,2): } & 5 = 2y - 5,\\[6pt] \text{(2,1): } & 12 = x + y,\\[6pt] \text{(2,2): } & -1 = -1. \end{cases}
A última igualdade é verdadeira automaticamente, então só precisamos resolver as três primeiras (duas delas são suficientes).]

Passo 5

Resolva as equações uma a uma, de forma bem explícita.
Da segunda equação:
5 = 2y - 5.
Some 5 em ambos os lados:
5 + 5 = 2y \quad\Rightarrow\quad 10 = 2y.
Divida por 2:
y = \frac{10}{2} = 5.
Agora use y=5 na primeira equação:
2 = x - y \quad\Rightarrow\quad 2 = x - 5.
Some 5 em ambos os lados:
2 + 5 = x \quad\Rightarrow\quad x = 7.
Podemos conferir usando a terceira equação: com x=7 e y=5,
x + y = 7 + 5 = 12,
que coincide com a igualdade \,12 = x+y. Portanto as soluções são consistentes.

Passo 6

Fazendo uma checagem final montamos B com os valores encontrados:
B=\begin{pmatrix}x-y & x+y \\[4pt] 2y-5 & -1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}7-5 & 7+5 \\[4pt] 2\cdot 5-5 & -1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2 & 12 \\[4pt] 5 & -1\end{pmatrix}.
A transposta é
B^{t}=\begin{pmatrix}2 & 5 \\[4pt] 12 & -1\end{pmatrix},
que é exatamente A. Tudo confere.]

Resposta

x=7
y=5

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