Sejam as matrizes A=\left(\begin{array}{ccc}x+y & 4 & -2 \\\\ 3 & 2 z & 3 \\\\ 0 & 4 & x-y \\\\ -6 & z-t & 1\end{array}\right) e B=\left(\begin{array}{ccc}5 & 4 & -2 \\\\ 3 & 2 & 3 \\\\ 0 & 4 & -1 \\\\ -6 & -3 & 1\end{array}\right). Se A^{t}=B^{t}, determine \mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{zet}.

Passo 1

O enunciado dá duas matrizes A e B (ambas com 4 linhas e 3 colunas) e pede para determinar os valores de \mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z} e \mathrm{t} sob a condição \,A^{t}=B^{t}. As matrizes fornecidas são:
A=\begin{pmatrix} x+y & 4 & -2 \\\\ 3 & 2z & 3 \\\\ 0 & 4 & x-y \\\\ -6 & z-t & 1 \end{pmatrix}
B=\begin{pmatrix} 5 & 4 & -2 \\\\ 3 & 2 & 3 \\\\ 0 & 4 & -1 \\\\ -6 & -3 & 1 \end{pmatrix}
Informações relevantes dadas:
  1. A igualdade \,A^{t}=B^{t}.
  2. As entradas numéricas e as expressões em A e B mostradas na matriz acima (peguei esses valores das próprias matrizes apresentadas).

Passo 2

Entendimento da condição \,A^{t}=B^{t} (explicação didática):
  • Para uma matriz qualquer M, a transposta M^{t} é a matriz obtida trocando linhas por colunas; formalmente (M^{t})_{ij}=M_{ji}.
  • Se \,A^{t}=B^{t}, então as duas matrizes transpostas são iguais elemento a elemento. Tomando a transposta em ambos os lados obtemos (A^{t})^{t}=(B^{t})^{t}, ou seja A=B. Em outras palavras, igualdade das transpostas implica igualdade das matrizes originais.
  • Igualdade de matrizes significa que cada posição (i,j) tem o mesmo valor em A e em B. Portanto podemos comparar posição a posição as entradas de A e B.

Passo 3

Escrevendo as equações que surgem de igualar entrada a entrada (peguei cada par de entradas correspondentes diretamente das matrizes A e B):
  • Da posição (1,1): \;x+y=5.
  • Da posição (1,2): \;4=4 (já está satisfeita).
  • Da posição (1,3): \;-2=-2 (satisfeita).
  • Da posição (2,1): \;3=3 (satisfeita).
  • Da posição (2,2): \;2z=2.
  • Da posição (2,3): \;3=3 (satisfeita).
  • Da posição (3,1): \;0=0 (satisfeita).
  • Da posição (3,2): \;4=4 (satisfeita).
  • Da posição (3,3): \;x-y=-1.
  • Da posição (4,1): \;-6=-6 (satisfeita).
  • Da posição (4,2): \;z-t=-3.
  • Da posição (4,3): \;1=1 (satisfeita).
Das igualdades acima, as que realmente envolvem incógnitas e que precisamos resolver são:
\begin{cases} x+y=5,\\[4pt] 2z=2,\\[4pt] x-y=-1,\\[4pt] z-t=-3. \end{cases}]

Passo 4

Resolver a equação \;2z=2 (passo simples explicado):
  • Aplicamos a propriedade de igualdade: se 2z=2, dividimos ambos os lados por 2 para isolar z.
z=\dfrac{2}{2}=1.
Portanto \;z=1.

Passo 5

Resolver o sistema linear com x\) e \(y\): \[\begin{cases} x+y=5,\\[4pt] x-y=-1. \end{cases}
Método de eliminação (explico passo a passo):
  • Somamos as duas equações para eliminar y\]: \[(x+y)+(x-y)=5+(-1).\] No lado esquerdo \(y cancela: 2x=4.
  • Dividindo por 2:
x=\dfrac{4}{2}=2.
  • Substituímos x=2 na primeira equação x+y=5:
2+y=5 \quad\Rightarrow\quad y=5-2=3.
Logo \;x=2 e \;y=3.]

Passo 6

Determinar t usando \;z-t=-3 com o valor já encontrado \;z=1:
  • Substituindo z=1:
1 - t = -3.
  • Isolando t: subtraindo 1 de ambos os lados ou reescrevendo,
-t = -3 - 1 = -4 \quad\Rightarrow\quad t=4.
Portanto \;t=4.

Passo 7

Verificação rápida (confere se bate com as entradas de B):
  • x+y=2+3=5 (confere com 5).
  • x-y=2-3=-1 (confere com -1).
  • 2z=2\cdot1=2 (confere).
  • z-t=1-4=-3 (confere).
    Tudo está consistente, então os valores encontrados são corretos.

Resposta

x=2
y=3
z=1
t=4

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