- Determine
para que
corresponda à frequência de corte
dos filtros passa-baixas e passa-altas abordados na introdução teórica do roteiro.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar o valor do amortecimento
tal que a frequência natural
coincida com a frequência de corte
para os filtros passa-baixas e passa-altas tratados na introdução teórica. Informações relevantes dadas (ou implicitamente necessárias):
- Trabalhamos com os filtros de segunda ordem padrão, que dependem de
(frequência natural) e de (fator de amortecimento). - A definição de frequência de corte usada é a usual em filtros analógicos:
é a frequência em que a magnitude da resposta em frequência cai para do ganho na região de passagem (ou seja, o ponto de dB). - Precisa-se determinar o valor numérico de
que faz com que .
Nada mais foi pedido além de obter esse.
Passo 2
Escrever as funções de transferência padrão e a condição de corte. Para um filtro passa-baixas de segunda ordem normalizado com ganho unitário em baixa frequência, a função de transferência é
Para um filtro passa-altas de segunda ordem normalizado com ganho unitário em alta frequência, a função é
Explicando as variáveis:
-
é a frequência natural (rad/s) do sistema; -
é o fator de amortecimento (adimensional); -
é a variável de frequência complexa na análise em regime permanente.
A condição de frequência de corte que vamos usar é
onde
é o ganho na banda de passagem (para ambos os filtros normalizados vale
). Como queremos
, substituiremos
nessa condição.
Passo 3
Calcular o módulo da resposta em frequência para o passa-baixas em
. Substituindo
na transferência de passa-baixas:
No caso
o denominador fica
. Assim o módulo é
A condição de corte exige
. Portanto
Resolvendo para
:
Passo 4
Repetir para o passa-altas para confirmar que dá o mesmo resultado. Para o passa-altas,
Em
o numerador é
e o denominador, como no caso anterior, reduz a
. O módulo do numerador é
, logo
Igualando à condição de corte
obtemos novamente
Portanto o mesmo
funciona para ambos os filtros.
Passo 5
Interpretação física e comentário útil para prova:
- O valor
é o amortecimento que coloca a frequência natural exatamente no ponto de dB. Esse caso é conhecido como condição de Butterworth de segunda ordem (filtro maximamente plano na banda de passagem). - Em termos de fator de qualidade
, lembra que . Para temos . - Na prova: sempre compute o módulo em
e imponha a condição de dB (ou ) — o cálculo é curto e direto, como feito acima.