1. Determine \xi para que \omega_{n} corresponda à frequência de corte \left(\omega_{c}\right) dos filtros passa-baixas e passa-altas abordados na introdução teórica do roteiro.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o valor do amortecimento \xi tal que a frequência natural \omega_{n} coincida com a frequência de corte \omega_{c} para os filtros passa-baixas e passa-altas tratados na introdução teórica. Informações relevantes dadas (ou implicitamente necessárias):
  • Trabalhamos com os filtros de segunda ordem padrão, que dependem de \omega_{n} (frequência natural) e de \xi (fator de amortecimento).
  • A definição de frequência de corte usada é a usual em filtros analógicos: \omega_{c} é a frequência em que a magnitude da resposta em frequência cai para 1/\sqrt{2} do ganho na região de passagem (ou seja, o ponto de -3 dB).
  • Precisa-se determinar o valor numérico de \xi que faz com que \omega_{n}=\omega_{c}.
    Nada mais foi pedido além de obter esse \xi.

Passo 2

Escrever as funções de transferência padrão e a condição de corte. Para um filtro passa-baixas de segunda ordem normalizado com ganho unitário em baixa frequência, a função de transferência é
H_{LP}(s)=\frac{\omega_{n}^{2}}{s^{2}+2\xi\omega_{n}s+\omega_{n}^{2}}.
Para um filtro passa-altas de segunda ordem normalizado com ganho unitário em alta frequência, a função é
H_{HP}(s)=\frac{s^{2}}{s^{2}+2\xi\omega_{n}s+\omega_{n}^{2}}.
Explicando as variáveis:
  • \omega_{n} é a frequência natural (rad/s) do sistema;
  • \xi é o fator de amortecimento (adimensional);
  • s=j\omega é a variável de frequência complexa na análise em regime permanente.
    A condição de frequência de corte que vamos usar é
|H(j\omega_{c})|=\frac{1}{\sqrt{2}}\,G_{\text{pass}},
onde G_{\text{pass}} é o ganho na banda de passagem (para ambos os filtros normalizados vale G_{\text{pass}}=1). Como queremos \omega_{c}=\omega_{n}, substituiremos \omega=\omega_{n} nessa condição.

Passo 3

Calcular o módulo da resposta em frequência para o passa-baixas em \omega=\omega_{n}. Substituindo s=j\omega na transferência de passa-baixas:
H_{LP}(j\omega)=\frac{\omega_{n}^{2}}{-\omega^{2}+j(2\xi\omega_{n}\omega)+\omega_{n}^{2}}.
No caso \omega=\omega_{n} o denominador fica -\omega_{n}^{2}+j(2\xi\omega_{n}^{2})+\omega_{n}^{2}=j(2\xi\omega_{n}^{2}). Assim o módulo é
|H_{LP}(j\omega_{n})|=\frac{\omega_{n}^{2}}{|j(2\xi\omega_{n}^{2})|}=\frac{\omega_{n}^{2}}{2\xi\omega_{n}^{2}}=\frac{1}{2\xi}.
A condição de corte exige |H_{LP}(j\omega_{n})|=1/\sqrt{2}. Portanto
\frac{1}{2\xi}=\frac{1}{\sqrt{2}}.
Resolvendo para \xi:
2\xi=\sqrt{2}\quad\Rightarrow\quad \xi=\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{1}{\sqrt{2}}\approx 0{,}7071.

Passo 4

Repetir para o passa-altas para confirmar que dá o mesmo resultado. Para o passa-altas,
H_{HP}(j\omega)=\frac{(j\omega)^{2}}{-\omega^{2}+j(2\xi\omega_{n}\omega)+\omega_{n}^{2}}.
Em \omega=\omega_{n} o numerador é (j\omega_{n})^{2}=-\omega_{n}^{2} e o denominador, como no caso anterior, reduz a j(2\xi\omega_{n}^{2}). O módulo do numerador é \omega_{n}^{2}, logo
|H_{HP}(j\omega_{n})|=\frac{\omega_{n}^{2}}{2\xi\omega_{n}^{2}}=\frac{1}{2\xi}.
Igualando à condição de corte 1/\sqrt{2} obtemos novamente
\frac{1}{2\xi}=\frac{1}{\sqrt{2}}\quad\Rightarrow\quad \xi=\frac{1}{\sqrt{2}}.
Portanto o mesmo \xi funciona para ambos os filtros.

Passo 5

Interpretação física e comentário útil para prova:
  • O valor \xi=\dfrac{1}{\sqrt{2}} é o amortecimento que coloca a frequência natural exatamente no ponto de -3 dB. Esse caso é conhecido como condição de Butterworth de segunda ordem (filtro maximamente plano na banda de passagem).
  • Em termos de fator de qualidade Q, lembra que Q=\dfrac{1}{2\xi}. Para \xi=\dfrac{1}{\sqrt{2}} temos Q=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\approx 0{,}7071.
  • Na prova: sempre compute o módulo em \omega=\omega_{n} e imponha a condição de -3 dB (ou 1/\sqrt{2}) — o cálculo é curto e direto, como feito acima.

Resposta

\xi=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\approx 0{,}7071

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