1. Para os filtros passa-baixas e passa-altas, atribua valores a R , L e C , tal que \omega_{c}=200 \pi \mathrm{rd} / \mathrm{s}.

Passo 1

O enunciado pede que eu atribua valores a R, L e C para filtros passa-baixas e passa-altas de forma que a frequência de corte angular seja
\omega_{c}=200\pi\\ \text{rad/s}.
Resumo do que é pedido:
  • Dar valores numéricos para componentes ( R, L, C) de filtros passa-baixas e passa-altas;
  • Garantir que esses valores produzam \omega_{c}=200\pi\\ \text{rad/s}.

Passo 2

O que é a frequência de corte \omega_{c} e por que ela aparece nas fórmulas:
  • Em filtros de primeira ordem (RC ou RL), a frequência de corte é o ponto em que a resposta em magnitude cai a 1/\sqrt{2} do valor em baixas/altas frequências; matematicamente ela aparece nas fórmulas simples abaixo.
  • Fórmulas importantes (primeira ordem):
    • Para um filtro RC (seja passa-baixa com saída no capacitor, seja passa-alta com saída no resistor) vale
    \omega_{c}=\frac{1}{R\,C}.
    • Para um filtro RL (série), a constante de corte é
    \omega_{c}=\frac{R}{L},onde a escolha de onde se toma a saída (em R ou em L) define se o circuito é passa-baixa ou passa-alta, mas o \omega_c tem essa forma.
  • Para um circuito LC ressonante (órgão ideal, sem resistência), a frequência natural é \omega_{0}=\frac{1}{\sqrt{L\,C}}.Se o objetivo for usar um par L e C para determinar a frequência de corte, esta é a fórmula apropriada.
Vou apresentar soluções práticas usando essas três famílias: RC (primeira ordem), RL (primeira ordem) e LC (ressonante), explicando escolhas.

Passo 3

Projeto RC (solução simples e muito comum).
  • Fórmula: \omega_{c}=\dfrac{1}{R\,C}.
  • Isolo C: C=\frac{1}{R\,\omega_{c}}.
  • Escolha prática: componentes padrão e fáceis de manipular. Vou escolher R=1{,}0\\ \text{k}\Omega = 1000\\ \Omega (valor comum em laboratórios).
  • Calcule C: C=\frac{1}{1000\cdot(200\pi)}=\frac{1}{200000\pi}\\ \text{F}.Agora o valor numérico: 200000\pi\approx628318{,}5307, então C\approx\frac{1}{628318{,}5307}\\ \text{F}\approx1{,}59155\times10^{-6}\\ \text{F}.Em unidades práticas, C\approx1{,}59155\\ \mu\text{F}.
  • Interpretação de montagem:
    • Passa-baixas RC: entrada em série com R e saída no nó entre R e C com o outro terminal de C ao terra (saída no capacitor).
    • Passa-altas RC: mesma combinação de R e C trocando saída para R (ou seja entrada em série com C e saída no nó entre C e R com R ao terra).

Passo 4

Projeto RL (primeira ordem; útil quando se prefere indutores em vez de capacitores).
  • Fórmula: \omega_{c}=\dfrac{R}{L}.
  • Isolo L: L=\frac{R}{\omega_{c}}.
  • Escolha prática: escolher R pequeno evita indutores gigantes. Vou escolher R=10\\ \Omega, um valor realista para aplicações de potência/filtragem onde indutor pequeno é desejado.
  • Calcule L: L=\frac{10}{200\pi}=\frac{1}{20\pi}\\ \text{H}.Numericamente, 20\pi\approx62{,}83185, então L\approx0{,}0159155\\ \text{H}=15{,}9155\\ \text{mH}.
  • Interpretação de montagem:
    • Para obter passa-altas com RL, usa-se série R e L e toma-se a saída no indutor (o indutor passa altas frequências).
    • Para passa-baixas com RL, toma-se a saída no resistor.

Passo 5

Projeto LC (ressonante, útil para filtros de segunda ordem/resonantes).
  • Fórmula para a ressonância/centro: \omega_{0}=\frac{1}{\sqrt{L\,C}}.Se quisermos que \omega_{0}=\omega_{c}=200\pi, então L\,C=\frac{1}{\omega_{c}^{2}}.
  • Para escolher números, fixo um L prático e calculo C. Uma escolha razoável para ilustração: L=1{,}0\\ \text{H} (indutor grande, só para exemplo; se quiser indutor menor, C cresce).
  • Calcule C: C=\frac{1}{\omega_{c}^{2}L}=\frac{1}{(200\pi)^{2}\cdot 1}.Calcule (200\pi)^{2}=40000\pi^{2}\approx394784{,}1760, então C\approx\frac{1}{394784{,}1760}\\ \text{F}\approx2{,}532295\times10^{-6}\\ \text{F}=2{,}532295\\ \mu\text{F}.
  • Observação: escolher L menor (ex.: L=10\\ \text{mH}) deixaria C grande; escolha depende de restrições práticas.

Passo 6

Comparação prática e justificativa das escolhas:
  • RC com R=1\\ \text{k}\Omega e C\approx1{,}5916\\ \mu\text{F}:
    • Vantagem: resistores de 1\\ \text{k}\Omega e capacitores na faixa microfarad são comuns.
    • Aplicação: filtros de áudio, sinais de baixa potência.
  • RL com R=10\\ \Omega e L\approx15{,}915\\ \text{mH}:
    • Vantagem: indutor de \sim 16\\ \text{mH} é razoável e R=10\\ \Omega \omega_{c} desejada.
    • Aplicação: quando se prefere indutores (ex.: filtros de potência).
  • LC com L=1\\ \text{H} e C\approx2{,}5323\\ \mu\text{F}:
    • É um exemplo de par LC que dá \omega_{c}; escolha de L e C pode ser alterada conforme disponibilidade.

Passo 7

Resumo final dos valores calculados (vou listar as três soluções práticas diferentes, assim você escolhe a que se encaixa melhor no laboratório/prova):
  • RC (primeira ordem): R=1{,}0\\ \text{k}\Omega, C\approx1{,}59155\\ \mu\text{F}.
  • RL (primeira ordem): R=10\\ \Omega, L\approx15{,}9155\\ \text{mH}.
  • LC (ressonante): L=1{,}0\\ \text{H}, C\approx2{,}53230\\ \mu\text{F}.

Passo 8

Dicas para a prova (como usar isso rapidinho):
  • Se o enunciado pedir especificamente RC ou RL, lembre as fórmulas:
    • RC: \omega_{c}=1/(R C).
    • RL: \omega_{c}=R/L.
    • LC: \omega_{0}=1/\sqrt{L C}.
  • Escolha um componente padrão (por ex. R fácil como 1\\ \text{k}\Omega ou 10\\ \Omega) e calcule o outro; isso economiza tempo.
  • Sempre explique qual topologia (onde está a saída) porque isso define se o circuito é passa-baixa ou passa-alta com aquelas fórmulas.

Resposta

RC (1ª ordem): R=1{,}0\\ \text{k}\Omega,\; C\approx1{,}59155\\ \mu\text{F}.
RL (1ª ordem): R=10\\ \Omega,\; L\approx15{,}9155\\ \text{mH}.
LC (ressonante): L=1{,}0\\ \text{H},\; C\approx2{,}53230\\ \mu\text{F}.

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