Determine y' em cada um dos itens. cos(y+x) = x^2 * y^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação para encontrar , que é a derivada de y em relação a x. A matéria que vamos usar aqui é derivação implícita, que é útil quando y não está explicitamente isolado. Vamos precisar aplicar regras de derivação como a regra da cadeia e a regra do produto.

Passo 2

Primeiro, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a x. Isso significa que vamos calcular a derivada de cada parte da equação mantendo em mente que y é uma função de x (ou seja, ).

Passo 3

Vamos começar derivando o lado esquerdo: . Usamos a regra da cadeia aqui. A derivada de é multiplicado pela derivada de u. Nesse caso, , então:

Passo 4

Agora, vamos derivar o lado direito: . Aqui, usamos a regra do produto, já que temos um produto de duas funções de x ( x^2 e y^2). A regra do produto nos diz que:
Simplificando:

Passo 5

Agora que derivamos ambos os lados, igualamos as duas expressões:

Passo 6

Nosso objetivo é isolar . Vamos distribuir o no lado esquerdo:

Passo 7

Agora, vamos juntar todos os termos que contêm de um lado e os demais termos do outro lado:

Passo 8

Fatoramos no lado esquerdo:

Passo 9

Finalmente, isolamos dividindo ambos os lados pela expressão que está multiplicando :
Podemos simplificar isso trocando os sinais no numerador e denominador:

Resposta

A derivada é dada por:

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