Determine
em cada um dos itens.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação
para encontrar
, que é a derivada de
em relação a
. A matéria que vamos usar aqui é derivação implícita, que é útil quando
não está explicitamente isolado. Vamos precisar aplicar regras de derivação como a regra da cadeia e a regra do produto.
Passo 2
Primeiro, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a
. Isso significa que vamos calcular a derivada de cada parte da equação mantendo em mente que
é uma função de
(ou seja,
).
Passo 3
Vamos começar derivando o lado esquerdo:
. Usamos a regra da cadeia aqui. A derivada de
é
multiplicado pela derivada de
. Nesse caso,
, então:
Passo 4
Agora, vamos derivar o lado direito:
. Aqui, usamos a regra do produto, já que temos um produto de duas funções de
(
e
). A regra do produto nos diz que:
Simplificando:
Passo 5
Agora que derivamos ambos os lados, igualamos as duas expressões:
Passo 6
Nosso objetivo é isolar
. Vamos distribuir o
no lado esquerdo:
Passo 7
Agora, vamos juntar todos os termos que contêm
de um lado e os demais termos do outro lado:
Passo 8
Fatoramos
no lado esquerdo:
Passo 9
Finalmente, isolamos
dividindo ambos os lados pela expressão que está multiplicando
:
Podemos simplificar isso trocando os sinais no numerador e denominador:
Resposta
A derivada
é dada por: