Determine (i) a função de transferência e (ii) a resposta ao impulso dos sistemas descritos pelas seguintes equações a diferenças:
a) y[n+1]-12 y[n]=2 x[n]

Passo 1

Beleza, aqui a gente tem um sistema discreto descrito por uma equação a diferenças:
y[n+1] - tfrac12,y[n] = 2,x[n]
O que a questão pede é (i) a função de transferência e (ii) a resposta ao impulso .
Conteúdo envolvido: Transformada Z (pra achar ) e propriedades de séries de potências em (pra achar ). Vamos assumir condições iniciais nulas ( ), que é o normal quando a gente define a resposta ao impulso.

Passo 2

Aplicar a Transformada Z em ambos os lados da equação.
Lembrando que
  • z,Y(z) - 0 ;-;tfrac12,Y(z) ;=;2,X(z),
  • ,
  • .
    Como assumimos , segue que (por causa do próprio sistema em repouso). Então:

Passo 3

Agora isolamos z,Y(z) - tfrac12,Y(z) = 2,X(z)Longrightarrow Y(z)l(z-tfrac12r) = 2,X(z):
boxedH(z)=Y(z)X(z) = 2,z - tfrac12,

Passo 4

Geralmente a gente exprime H(z)=2z-tfrac12 ;times;z^-1z^-1 = 2,z^-1,1 - tfrac12,z^-1, em potências de , pra facilitar a inversão em sequência:

Passo 5

Agora expandimos em série de potências de 11 - a,z^-1 = sumk=0^infty a^k,z^-k(para |z|>|a|). A forma
H(z) = 2,z^-1sumk=0^inftyl(tfrac12r)^k z^-k = sumk=0^infty2l(tfrac12r)^k,z^-(k+1)
é a fórmula básica. Aqui h[n] = 2l(tfrac12r)^,n-1,& n>=1, 0,& n<1 , então
Isso significa que o coeficiente de em é

Resposta

(i) h[n]= 2l(tfrac12r)^n-1,&n>=1, 0,&n<1 com ROC .
(ii) ou seja

Exercícios relacionados