Determine z in C tal que z^3=8

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos todos os números complexos $ z $ que, quando elevados ao cubo, dão 8. Para resolver isso, vamos usar um pouco de matemática envolvendo números complexos e raízes de números. Não se preocupe, vamos explicar tudo passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um número complexo pode ser escrito na forma $ z = r(\cos \theta + i \sin \theta) $, onde $ r $ é o módulo (ou tamanho) do número e $ \theta $ é o argumento (ou o ângulo). Isso é conhecido como a forma trigonométrica de um número complexo.

Passo 3

Sabemos que $ z^3 = 8 $. Vamos reescrever o 8 também como um número complexo. O número 8 pode ser escrito como $ 8 = 8(\cos 0 + i \sin 0) $, já que está na direção real positiva no plano complexo.

Passo 4

Agora, usando a propriedade das potências de números complexos na forma trigonométrica, temos:
z^3 = r^3 ( cos (3theta) + i sin (3theta) )
Então, igualando isso a $ 8(\cos 0 + i \sin 0) $, temos:
8(cos 0 + i sin 0)

Passo 5

Para que duas representações trigonométricas sejam iguais, os módulos devem ser iguais e os ângulos devem ser congruentes. Primeiro, igualamos os módulos:
r^3 = 8 Rightarrow r = raiz[3]8 = 2

Passo 6

Agora, igualamos os argumentos. Como estamos lidando com potências de números complexos, devemos considerar todas as soluções possíveis dentro de $ 2\pi $. Então:
2pi
Resolvendo para $ \theta $:
3theta = 0 + 2kpi para k = 0, 1, 2

Passo 7

Agora, substituímos os valores de $ k $ para encontrar todos os ângulos possíveis:
  • Para $ k = 0 $:
k
  • Para $ k = 1 $:
k = 0
  • Para $ k = 2 $:
theta = 0

Passo 8

Finalmente, substituímos $ r $ e $ \theta $ de volta na forma trigonométrica para encontrar as soluções $ z $:
r

Resposta

As soluções de $ z $ são:
z
z0 = 2 (cos 0 + i sin 0) = 2
z1 = 2 ( cos(2pi3) + i sin(2pi3) ) = 2 ( -12 + i raiz32 ) = -1 + i raiz3
Então, os números complexos $ z $ que satisfazem $ z^3 = 8 $ são:
z2 = 2 ( cos(4pi3) + i sin(4pi3) ) = 2 ( -12 - i raiz32 ) = -1 - i raiz3

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