Determine
tal que
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos todos os números complexos $ z $ que, quando elevados ao cubo, dão 8. Para resolver isso, vamos usar um pouco de matemática envolvendo números complexos e raízes de números. Não se preocupe, vamos explicar tudo passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um número complexo pode ser escrito na forma $ z = r(\cos \theta + i \sin \theta) $, onde $ r $ é o módulo (ou tamanho) do número e $ \theta $ é o argumento (ou o ângulo). Isso é conhecido como a forma trigonométrica de um número complexo.
Passo 3
Sabemos que $ z^3 = 8 $. Vamos reescrever o 8 também como um número complexo. O número 8 pode ser escrito como $ 8 = 8(\cos 0 + i \sin 0) $, já que está na direção real positiva no plano complexo.
Passo 4
Agora, usando a propriedade das potências de números complexos na forma trigonométrica, temos:
Então, igualando isso a $ 8(\cos 0 + i \sin 0) $, temos:
Passo 5
Para que duas representações trigonométricas sejam iguais, os módulos devem ser iguais e os ângulos devem ser congruentes. Primeiro, igualamos os módulos:
Passo 6
Agora, igualamos os argumentos. Como estamos lidando com potências de números complexos, devemos considerar todas as soluções possíveis dentro de $ 2\pi $. Então:
Resolvendo para $ \theta $:
Passo 7
Agora, substituímos os valores de $ k $ para encontrar todos os ângulos possíveis:
- Para $ k = 0 $:
- Para $ k = 1 $:
- Para $ k = 2 $:
Passo 8
Finalmente, substituímos $ r $ e $ \theta $ de volta na forma trigonométrica para encontrar as soluções $ z $:
Resposta
As soluções de $ z $ são:
Então, os números complexos $ z $ que satisfazem $ z^3 = 8 $ são: