1. Determine z=\varphi_{2}(x, y), x<0, tal que \varphi_{2}(-1,1)=\frac{3 \pi}{4} e, para todo x<0,
\nabla \varphi_{2}(x, y)=\left(\frac{-y}{x^{2}+y^{2}}, \frac{x}{x^{2}+y^{2}}\right)

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos dá:
  • Pede determinar z=\varphi_{2}(x,y) válida para x<0.
  • Dá a condição de valor inicial \varphi_{2}(-1,1)=\frac{3\pi}{4}.
  • Dá também que, para todo x<0,
\nabla \varphi_{2}(x,y)=\left(\frac{-y}{x^{2}+y^{2}},\;\frac{x}{x^{2}+y^{2}}\right).
  • Informação importante: a igualdade do gradiente fornece as duas derivadas parciais
\frac{\partial \varphi_{2}}{\partial x}(x,y)=\frac{-y}{x^{2}+y^{2}},\qquad \frac{\partial \varphi_{2}}{\partial y}(x,y)=\frac{x}{x^{2}+y^{2}}.
A partir daqui começamos a construir \varphi_{2}.

Passo 2

Estratégia de solução (sem calcular ainda): como temos as duas derivadas parciais conhecidas, vamos recuperar \varphi_{2} integrando uma das parciais (tratatando a outra variável como constante) e depois ajustar com uma função de integração que depende apenas da variável restante. Esse é o método padrão para obter potencial a partir do gradiente.

Passo 3

Integrar a segunda componente em relação a y: usamos
\frac{\partial \varphi_{2}}{\partial y}(x,y)=\frac{x}{x^{2}+y^{2}}.
Trate x como constante e integre em y. Lembre que
\int \frac{1}{a^{2}+y^{2}}\,dy=\frac{1}{a}\arctan\!\left(\frac{y}{a}\right)\quad (a\neq 0).
Aqui a= x (fixo), então
\int \frac{x}{x^{2}+y^{2}}\,dy = x\cdot \frac{1}{x}\arctan\!\left(\frac{y}{x}\right) =\arctan\!\left(\frac{y}{x}\right).
Portanto, após integrar,
\varphi_{2}(x,y)=\arctan\!\left(\frac{y}{x}\right)+h(x),
onde h(x) é uma função desconhecida que pode depender só de x.

Passo 4

Determinar h(x) usando a primeira condição de derivada parcial. Calcule a derivada parcial de \varphi_{2} obtida em relação a x:
primeiro, diferencie \arctan\!\left(\dfrac{y}{x}\right) em relação a x (com y constante). Usando a regra da cadeia e a derivada de \arctan,
\frac{\partial}{\partial x}\arctan\!\left(\frac{y}{x}\right) = \frac{1}{1+\left(\frac{y}{x}\right)^{2}}\cdot\left(-\frac{y}{x^{2}}\right) = -\frac{y}{x^{2}+y^{2}}.
Então
\frac{\partial \varphi_{2}}{\partial x}(x,y) = -\frac{y}{x^{2}+y^{2}}+h'(x).
Mas sabemos que a primeira componente do gradiente deve ser -\dfrac{y}{x^{2}+y^{2}}. Igualando:
-\frac{y}{x^{2}+y^{2}}+h'(x) = -\frac{y}{x^{2}+y^{2}}.
Isso implica h'(x)=0, logo h(x)=C é constante.

Passo 5

Concluímos que, em x<0,
\varphi_{2}(x,y)=\arctan\!\left(\frac{y}{x}\right)+C,
com C constante a determinar pela condição inicial.

Passo 6

Determinar a constante C usando \varphi_{2}(-1,1)=\dfrac{3\pi}{4}. Calcule \arctan\!\left(\dfrac{y}{x}\right) em (x,y)=(-1,1):
\arctan\!\left(\frac{1}{-1}\right)=\arctan(-1)=-\frac{\pi}{4}
(este é o valor principal da \arctan). Então
\varphi_{2}(-1,1) = -\frac{\pi}{4} + C = \frac{3\pi}{4}.
Isolando C:
C = \frac{3\pi}{4} + \frac{\pi}{4} = \pi.

Passo 7

Portanto a função potencial que atende ao gradiente e à condição dada, definida para x<0, é
\varphi_{2}(x,y)=\arctan\!\left(\frac{y}{x}\right)+\pi.
Comentário prático: escolhemos a constante \pi porque na semirreta x<0 queremos a ramificação contínua do ângulo (o argumento) que está aproximadamente em (\tfrac{\pi}{2},\tfrac{3\pi}{2}); somar \pi à \arctan(y/x) dá essa ramificação contínua no domínio x<0. Verificação rápida: as derivadas parciais dessa \varphi_{2} coincidem com as componentes dadas do gradiente.

Resposta

\varphi_{2}(x,y)=\arctan\!\left(\dfrac{y}{x}\right)+\pi para x<0.

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