- Determine
, tal que
e, para todo
,
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos dá:
- Pede determinar
válida para . - Dá a condição de valor inicial
. - Dá também que, para todo
,
- Informação importante: a igualdade do gradiente fornece as duas derivadas parciais
A partir daqui começamos a construir
.
Passo 2
Estratégia de solução (sem calcular ainda): como temos as duas derivadas parciais conhecidas, vamos recuperar
integrando uma das parciais (tratatando a outra variável como constante) e depois ajustar com uma função de integração que depende apenas da variável restante. Esse é o método padrão para obter potencial a partir do gradiente.
Passo 3
Integrar a segunda componente em relação a
: usamos
Trate
como constante e integre em
. Lembre que
Aqui
(fixo), então
Portanto, após integrar,
onde
é uma função desconhecida que pode depender só de
.
Passo 4
Determinar
usando a primeira condição de derivada parcial. Calcule a derivada parcial de
obtida em relação a
:
primeiro, diferencie em relação a
(com
constante). Usando a regra da cadeia e a derivada de
,
primeiro, diferencie
Então
Mas sabemos que a primeira componente do gradiente deve ser
. Igualando:
Isso implica
, logo
é constante.
Passo 5
Concluímos que, em
,
com
constante a determinar pela condição inicial.
Passo 6
Determinar a constante
usando
. Calcule
em
:
(este é o valor principal da
). Então
Isolando
:
Passo 7
Portanto a função potencial que atende ao gradiente e à condição dada, definida para
, é
Comentário prático: escolhemos a constante
porque na semirreta
queremos a ramificação contínua do ângulo (o argumento) que está aproximadamente em
; somar
à
dá essa ramificação contínua no domínio
. Verificação rápida: as derivadas parciais dessa
coincidem com as componentes dadas do gradiente.