Questão 4. (Integrais duplas em coordenadas polares) Calcule as seguintes integrais duplas, usando coordenadas polares: \iint_{B} x^{2} d A, onde B é o conjunto x^{2}+4 y^{2} \leq 1;
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{B} x^{2}\,dA
onde B é a região dada por
B=\{(x,y)\mid x^{2}+4y^{2}\le 1\}.
Ou seja: calcular a integral de x^{2} sobre a elipse \;x^{2}+4y^{2}\le1. Não há outras perguntas; o objetivo final é obter um número (o valor da integral).
Passo 2
Vamos simplificar a região aplicando uma transformação linear que manda a elipse para um disco unitário. Definimos novas coordenadas
u=x,\qquad v=2y.
Observe que, substituindo,
u^{2}+v^{2}=x^{2}+4y^{2},
logo a condição x^{2}+4y^{2}\le1 vira u^{2}+v^{2}\le1. Portanto a região B em (x,y) corresponde ao disco unitário
D=\{(u,v)\mid u^{2}+v^{2}\le1\}
no plano (u,v). A ideia é trocar a integral sobre B por uma integral equivalente sobre D usando mudança de variáveis.
Passo 3
Precisamos da expressão do diferencial de área após a mudança de variáveis. Escrevendo a inversa da transformação,
x=u,\qquad y=\frac{v}{2}.
O Jacobiano da transformação (u,v)\mapsto(x,y) é a determinante da matriz dos derivadas parciais:
Agora só falta calcular a integral de u^{2} sobre o disco unitário D.
Passo 5
Para integrar sobre o disco unitário D é natural usar coordenadas polares no plano (u,v):
u=r\cos\theta,\qquad v=r\sin\theta,
com 0\le r\le1 e 0\le\theta<2\pi. Em coordenadas polares o elemento de área é
dA_{(u,v)}=r\,dr\,d\theta,
pois o fator r é o Jacobiano da transformação polar (uma explicação rápida: um pequeno retângulo em (r,\theta) tem área aproximada r\,\Delta r\,\Delta\theta).
Passo 6
Substituindo u=r\cos\theta e dA_{(u,v)}=r\,dr\,d\theta na integral obtida no Passo 4: