Questão 4. (Integrais duplas em coordenadas polares) Calcule as seguintes integrais duplas, usando coordenadas polares:
\iint_{B} x^{2} d A, onde B é o conjunto x^{2}+4 y^{2} \leq 1;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{B} x^{2}\,dA
onde B é a região dada por
B=\{(x,y)\mid x^{2}+4y^{2}\le 1\}.
Ou seja: calcular a integral de x^{2} sobre a elipse \;x^{2}+4y^{2}\le1. Não há outras perguntas; o objetivo final é obter um número (o valor da integral).

Passo 2

Vamos simplificar a região aplicando uma transformação linear que manda a elipse para um disco unitário. Definimos novas coordenadas
u=x,\qquad v=2y.
Observe que, substituindo,
u^{2}+v^{2}=x^{2}+4y^{2},
logo a condição x^{2}+4y^{2}\le1 vira u^{2}+v^{2}\le1. Portanto a região B em (x,y) corresponde ao disco unitário
D=\{(u,v)\mid u^{2}+v^{2}\le1\}
no plano (u,v). A ideia é trocar a integral sobre B por uma integral equivalente sobre D usando mudança de variáveis.

Passo 3

Precisamos da expressão do diferencial de área após a mudança de variáveis. Escrevendo a inversa da transformação,
x=u,\qquad y=\frac{v}{2}.
O Jacobiano da transformação (u,v)\mapsto(x,y) é a determinante da matriz dos derivadas parciais:
\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} = \begin{pmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v}\\[4pt] \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\[4pt] 0 & \tfrac{1}{2} \end{pmatrix}.
A determinante é
\det\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}=1\cdot\tfrac{1}{2}-0= \tfrac{1}{2}.
Portanto o elemento de área se transforma como
dA_{(x,y)}=\tfrac{1}{2}\,dA_{(u,v)}.
(Isto significa: uma pequena área no plano uv vira metade dessa área no plano xy.)]

Passo 4

Escrevemos a integral original em coordenadas (u,v). Como x=u, temos x^{2}=u^{2}. Assim
\iint_{B} x^{2}\,dA_{(x,y)} = \iint_{D} u^{2}\cdot \tfrac{1}{2}\,dA_{(u,v)} = \tfrac{1}{2}\iint_{D} u^{2}\,dA_{(u,v)}.
Agora só falta calcular a integral de u^{2} sobre o disco unitário D.

Passo 5

Para integrar sobre o disco unitário D é natural usar coordenadas polares no plano (u,v):
u=r\cos\theta,\qquad v=r\sin\theta,
com 0\le r\le1 e 0\le\theta<2\pi. Em coordenadas polares o elemento de área é
dA_{(u,v)}=r\,dr\,d\theta,
pois o fator r é o Jacobiano da transformação polar (uma explicação rápida: um pequeno retângulo em (r,\theta) tem área aproximada r\,\Delta r\,\Delta\theta).

Passo 6

Substituindo u=r\cos\theta e dA_{(u,v)}=r\,dr\,d\theta na integral obtida no Passo 4:
\tfrac{1}{2}\iint_{D} u^{2}\,dA_{(u,v)} = \tfrac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1} (r\cos\theta)^{2}\, r\,dr\,d\theta = \tfrac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1} r^{3}\cos^{2}\theta\,dr\,d\theta.
Podemos separar as integrais (produto de função de r por função de \theta):
\tfrac{1}{2}\left(\int_{0}^{1} r^{3}\,dr\right)\left(\int_{0}^{2\pi}\cos^{2}\theta\,d\theta\right).

Passo 7

Calcule as duas integrais separadas.
Radial:
\int_{0}^{1} r^{3}\,dr = \left.\frac{r^{4}}{4}\right|_{0}^{1} = \frac{1}{4}.
Angular: use a identidade pitagórica para cosseno ao quadrado,
\cos^{2}\theta = \frac{1+\cos(2\theta)}{2}.
Assim
\int_{0}^{2\pi}\cos^{2}\theta\,d\theta = \int_{0}^{2\pi}\frac{1+\cos(2\theta)}{2}\,d\theta = \frac{1}{2}\left[\int_{0}^{2\pi}1\,d\theta + \int_{0}^{2\pi}\cos(2\theta)\,d\theta\right].
A segunda integral é zero porque \cos(2\theta) tem período \pi e soma zero em um múltiplo de períodos; a primeira dá 2\pi. Logo
\int_{0}^{2\pi}\cos^{2}\theta\,d\theta = \frac{1}{2}\cdot 2\pi = \pi.

Passo 8

Combine os resultados:
\tfrac{1}{2}\cdot \frac{1}{4}\cdot \pi = \frac{\pi}{8}.
Portanto a integral pedida vale \frac{\pi}{8}. Mandando um incentivo: você já fez a parte chata — a mudança de variáveis — e chegou no número final!

Resposta

\displaystyle \frac{\pi}{8}

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