Determine
e
.
Passo 1
O que o enunciado pede: determinar as derivadas parciais
e
da função
que satisfaz a equação
Informações dadas: a relação implícita entre
,
e
é exatamente a equação acima. Não há valores numéricos adicionais; espera-se expressar
e
em termos de
,
e
.
Passo 2
Estratégia (explicação do método): vamos aplicar diferenciação implícita. Definimos a função
e usamos que
. Diferenciando essa identidade em relação a
e a
, usando a regra da cadeia, obtemos as fórmulas gerais
onde
,
e
são as derivadas parciais de
tratadas como função de três variáveis, isto é, ao calcular
trata-se
e
como constantes, etc. Vou provar rapidamente a primeira igualdade: diferencie
em relação a
:
logo
. Mesma ideia para
.
Passo 3
Calcular
. Primeiro escrevo
novamente para referência:
Ao derivar em relação a
mantendo
e
fixos:
- A derivada de
em relação a é porque apenas depende de . - A derivada de
em relação a é multiplicado por a derivada de em relação a , que é (pois e são tratados como constantes ao calcular ).
Portanto
Passo 4
Calcular
. Agora derivamos
em relação a
mantendo
e
fixos:
- Para
usamos produto: derivada de é , e também depende de . Assim
(ou
.)
- Para
a derivada em relação a é vezes a derivada de em relação a , que é .
Portanto
Passo 5
Calcular
. Derivando
em relação a
mantendo
e
fixos:
- A derivada de
em relação a é (pois só aparece multiplicando). - A derivada de
em relação a é vezes a derivada de em relação a , que é .
Portanto
Passo 6
Agora aplicamos a fórmula para
:
Vamos simplificar fatorando
no numerador e
no denominador (assumindo
; se
deve-se analisar o caso separadamente, ou manter expressão sem cancelamento):
Cancelando
obtemos a forma simplificada
Passo 7
Agora
:
Factoramos
no numerador e
no denominador para deixar a expressão mais legível:
Portanto uma forma conveniente é
(Se preferir, pode deixar sem cancelar fatores.)