Determine ∂ z / ∂ x e ∂ z / ∂ y.
y^{2} z e^{x+y}-\operatorname{sen}(x y z)=0

Passo 1

O que o enunciado pede: determinar as derivadas parciais \partial z/\partial x e \partial z/\partial y da função z=z(x,y) que satisfaz a equação
y^{2} z e^{x+y}-\sin(x y z)=0.
Informações dadas: a relação implícita entre x, y e z é exatamente a equação acima. Não há valores numéricos adicionais; espera-se expressar \partial z/\partial x e \partial z/\partial y em termos de x, y e z.

Passo 2

Estratégia (explicação do método): vamos aplicar diferenciação implícita. Definimos a função
F(x,y,z)=y^{2} z e^{x+y}-\sin(x y z)
e usamos que F(x,y,z(x,y))\equiv 0. Diferenciando essa identidade em relação a x e a y, usando a regra da cadeia, obtemos as fórmulas gerais
\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{F_x}{F_z}, \qquad \frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{F_y}{F_z},
onde F_x, F_y e F_z são as derivadas parciais de F tratadas como função de três variáveis, isto é, ao calcular F_x trata-se y e z como constantes, etc. Vou provar rapidamente a primeira igualdade: diferencie F(x,y,z(x,y))=0 em relação a x:
F_x + F_z\frac{\partial z}{\partial x}=0,
logo \partial z/\partial x=-F_x/F_z. Mesma ideia para y.

Passo 3

Calcular F_x. Primeiro escrevo F novamente para referência:
F(x,y,z)=y^{2} z e^{x+y}-\sin(x y z).
Ao derivar em relação a x mantendo y e z fixos:
  • A derivada de y^{2} z e^{x+y} em relação a x é y^{2} z e^{x+y} porque apenas e^{x+y} depende de x.
  • A derivada de -\sin(x y z) em relação a x é -\cos(x y z) multiplicado por a derivada de x y z em relação a x, que é y z (pois y e z são tratados como constantes ao calcular F_x).
    Portanto
F_x = y^{2} z e^{x+y} - y z \cos(x y z).

Passo 4

Calcular F_y. Agora derivamos F em relação a y mantendo x e z fixos:
  • Para y^{2} z e^{x+y} usamos produto: derivada de y^{2} é 2y, e e^{x+y} também depende de y. Assim
\frac{\partial}{\partial y}\big(y^{2} z e^{x+y}\big)=2y\cdot z e^{x+y} + y^{2} z e^{x+y}=(2y+y^{2}) z e^{x+y}.
(ou y(2+y) z e^{x+y}.)
  • Para -\sin(x y z) a derivada em relação a y é -\cos(x y z) vezes a derivada de x y z em relação a y, que é x z.
    Portanto
F_y = (2y+y^{2}) z e^{x+y} - x z \cos(x y z).

Passo 5

Calcular F_z. Derivando F em relação a z mantendo x e y fixos:
  • A derivada de y^{2} z e^{x+y} em relação a z é y^{2} e^{x+y} (pois só z aparece multiplicando).
  • A derivada de -\sin(x y z) em relação a z é -\cos(x y z) vezes a derivada de x y z em relação a z, que é x y.
    Portanto
F_z = y^{2} e^{x+y} - x y \cos(x y z).

Passo 6

Agora aplicamos a fórmula para \partial z/\partial x:
\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{F_x}{F_z} =-\frac{y^{2} z e^{x+y} - y z \cos(x y z)}{y^{2} e^{x+y} - x y \cos(x y z)}.
Vamos simplificar fatorando y z no numerador e y no denominador (assumindo y\neq 0; se y=0 deve-se analisar o caso separadamente, ou manter expressão sem cancelamento):
\text{numerador}=y z\big(y e^{x+y}-\cos(x y z)\big), \qquad \text{denominador}=y\big(y e^{x+y}-x\cos(x y z)\big).
Cancelando y obtemos a forma simplificada
\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{z\big(y e^{x+y}-\cos(x y z)\big)}{y e^{x+y}-x\cos(x y z)}.

Passo 7

Agora \partial z/\partial y:
\frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{F_y}{F_z} =-\frac{(2y+y^{2}) z e^{x+y} - x z \cos(x y z)}{y^{2} e^{x+y} - x y \cos(x y z)}.
Factoramos z no numerador e y no denominador para deixar a expressão mais legível:
\text{numerador}=z\big(y(2+y)e^{x+y}-x\cos(x y z)\big), \qquad \text{denominador}=y\big(y e^{x+y}-x\cos(x y z)\big).
Portanto uma forma conveniente é
\frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{z\big(y(2+y)e^{x+y}-x\cos(x y z)\big)}{y\big(y e^{x+y}-x\cos(x y z)\big)}.
(Se preferir, pode deixar sem cancelar fatores.)

Resposta

\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{z\big(y e^{x+y}-\cos(x y z)\big)}{y e^{x+y}-x\cos(x y z)}
\frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{z\big(y(2+y)e^{x+y}-x\cos(x y z)\big)}{y\big(y e^{x+y}-x\cos(x y z)\big)}

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