Determine o zero da função, f(x)= cos (x)-x^2-2 x, utilizando o Método da Secante no intervalo [0,2]. Escolha os pontos iniciais de sua preferência em 5 iterações.

Passo 1

O enunciado pede para a gente encontrar o zero da função f(x)=cos(x)-x^2-2x no intervalo [0,2] usando o Método da Secante em 5 iterações. É um método numérico que aproxima raízes sem precisar de derivadas, só usando valores sucessivos de f(x).

Passo 2

Definimos f(x)=cos(x)-x^2-2x e a fórmula da secante:
xn+1=xn-f(xn),(xn-xn-1)f(xn)-f(xn-1)
Escolhemos os pontos iniciais x0=0 e x1=2. Calculamos:
f(x0)=f(0)=1, f(x1)=f(2)=cos(2)-4-4approx-8.41615

Passo 3

Iteração 1: aplicando a fórmula para obter x2 e f(x2):
x2=2 - -8.41615,(2-0)-8.41615-1approx0.21274,
f(x2)=cos(0.21274)-0.21274^2-2times0.21274approx0.50667

Passo 4

Iteração 2: de x1,x2 para achar x3 e f(x3):
x3=0.21274 - 0.50667,(0.21274-2)0.50667-(-8.41615)approx0.31435,
f(x3)=cos(0.31435)-0.31435^2-2times0.31435approx0.22340

Passo 5

Iteração 3: de x2,x3 para achar x4 e f(x4):
x4=0.31435 - 0.22340,(0.31435-0.21274)0.22340-0.50667approx0.39455,
f(x4)=cos(0.39455)-0.39455^2-2times0.39455approx-0.02172

Passo 6

Iteração 4: de x3,x4 para achar x5 e f(x5):
x5=0.39455 - -0.02172,(0.39455-0.31435)-0.02172-0.22340approx0.38745,
f(x5)=cos(0.38745)-0.38745^2-2times0.38745approx0.00045

Passo 7

Iteração 5: de x4,x5 para achar x6 e f(x6):
x6=0.38745 - 0.00045,(0.38745-0.39455)0.00045-(-0.02172)approx0.38759,
f(x6)=cos(0.38759)-0.38759^2-2times0.38759approx1.4times10^-5

Resposta

Após 5 iterações pelo Método da Secante, a raiz aproximada é x≈0.38759.

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