Determine o zero da função, f(x)= x log x-1, utilizando o Método da Secante no intervalo [2,3]. Escolha os pontos iniciais de sua preferência em 5 iterações.

Passo 1

O enunciado pede determinar o zero da função f(x)=xln x - 1 usando o método da secante no intervalo [2,3]. O conteúdo é método numérico de raízes e vamos precisar da definição do método da secante e de avaliar f(x) em pontos dados.

Passo 2

O método da secante gera aproximações pelas interseções das retas formadas pelos pontos (xn-1,f(xn-1)) e (xn,f(xn)). A fórmula de iteração é:
xn+1 ,=, xn , - , f(xn) ,xn - xn-1f(xn) - f(xn-1)

Passo 3

Escolhemos os chutes iniciais x0=2 e x1=3. Avaliamos f(x0)=2ln2 -1approx0.386294 e f(x1)=3ln3 -1approx2.295837.

Passo 4

Iteração 1: aplicando a fórmula com n=1,
x2 = 3 - 2.295837cdot3-22.295837-0.386294approx1.797403
e avaliamos f(x2)=1.797403ln(1.797403)-1approx0.054676.

Passo 5

Iteração 2: usando x1 e x2,
x3 = 1.797403 - 0.054676cdot1.797403-30.054676-2.295837approx1.768060
e f(x3)=1.768060ln(1.768060)-1approx0.005712.

Passo 6

Iteração 3: usando x2 e x3,
x4 = 1.768060 - 0.005712cdot1.768060-1.7974030.005712-0.054676approx1.764635
e f(x4)=1.764635ln(1.764635)-1approx0.000115.

Passo 7

Iteração 4: usando x3 e x4,
x5 = 1.764635 - 0.000115cdot1.764635-1.7680600.000115-0.005712approx1.763896
e f(x5)=1.763896ln(1.763896)-1approx0.000001.

Passo 8

Iteração 5: usando x4 e x5,
x6 = 1.763896 - 0.000001cdot1.763896-1.7646350.000001-0.000115approx1.763895
e f(x6)approx0, mostrando convergência.

Resposta

Após 5 iterações, a aproximação da raiz é x ≈ 1.7639.

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