Determine o zero da função, f(x)= 7 sen(x)-x, utilizando o Método de Newton, no intervalo [0,2] para 5 iterações com arredondamento padrão.

Passo 1

A questão pede o zero da função f(x)=7sin(x)-x no intervalo [0,2] usando o Método de Newton em 5 iterações. O conteúdo envolvido é o Método de Newton para encontrar raízes de funções, e vamos precisar da derivada f'(x) e de um palpite inicial x0 dentro de [0,2].

Passo 2

Primeiro identificamos a derivada de f(x) e escrevemos a fórmula iterativa de Newton. Temos
f'(x)=7cos(x)-1
e a iteração de Newton é dada por
xn+1=xn - f(xn)f'(xn)

Passo 3

Escolhemos como palpite inicial x0=1,0000. Agora calculamos as iterações, arredondando a 4 casas decimais:
Para n=0:
f(x0)=7sin(1,0000)-1,0000=7cdot0,8415-1,0000=4,8903
f'(x0)=7cos(1,0000)-1=7cdot0,5403-1=2,7821
x1=1,0000-4,89032,7821=-0,7583

Passo 4

Para n=1:
f(x1)=7sin(-0,7583)-(-0,7583)=7cdot(-0,6878)+0,7583=-4,0562
f'(x1)=7cos(-0,7583)-1=7cdot0,7263-1=4,0840
x2=-0,7583--4,05624,0840=0,2353

Passo 5

Para n=2:
f(x2)=7sin(0,2353)-0,2353=7cdot0,2331-0,2353=1,3964
f'(x2)=7cos(0,2353)-1=7cdot0,9723-1=5,8061
x3=0,2353-1,39645,8061=-0,0052

Passo 6

Para n=3:
f(x3)=7sin(-0,0052)-(-0,0052)=7cdot(-0,0052)+0,0052=-0,0312
f'(x3)=7cos(-0,0052)-1=7cdot0,999986-1=5,9999
x4=-0,0052--0,03125,9999=0,0000

Passo 7

Para n=4:
f(x4)=7sin(0,0000)-0,0000=0
f'(x4)=7cos(0,0000)-1=6
x5=0,0000-06=0,0000

Resposta

O zero aproximado da função após 5 iterações pelo Método de Newton é x ≈ 0,0000.

Exercícios relacionados