Encontre uma raiz para a função, f(x)=sen(x^3), no intervalo [0,2.5]. Utilize o Método da Falsa Posição com 4 dígitos e arredondamento padrão em 5 iterações.

Passo 1

O problema pede para encontrar, em 5 iterações pelo Método da Falsa Posição e com 4 dígitos de precisão (arredondamento padrão), uma raiz de f(x)=sin(x^3) no intervalo [0,2.5]. Vamos usar o conteúdo de método de busca de raízes por interpolação linear (falsa posição) e avaliar repetidamente f(x)=sin(x^3).

Passo 2

Primeiro precisamos de um intervalo [a,b] em que f(a) e f(b) tenham sinais opostos. Calculando:
f(1.4)=sin(1.4^3)=sin(2.744)approx0.388 (positivo)
f(1.5)=sin(1.5^3)=sin(3.375)approx-0.231 (negativo)
Logo, escolhemos a0=1.4, b0=1.5 pois f(a0)f(b0)<0.

Passo 3

A fórmula da falsa posição para o ponto c é:
c=a,f(b)-b,f(a)f(b)-f(a)
Iteração 1:
a0=1.4,;f(a0)=0.388,;b0=1.5,;f(b0)=-0.231
c1=1.4(-0.231)-1.5(0.388)-0.231-0.388approx1.4637
Avalia-se f(c1)=sin(1.4637^3)approx0.00449>0, então o novo intervalo é [a1,b1]=[1.4637,1.5].

Passo 4

Iterações 2 e 3 (mesma lógica):
a1=1.4637,;f(a1)=0.00449,;b1=1.5,;f(b1)=-0.231
c2=1.4645, f(c2)approx0.00249>0implies[a2,b2]=[1.4645,1.5]
c3=1.4646, f(c3)approx0.00173>0implies[a3,b3]=[1.4646,1.5]

Passo 5

Iterações 4 e 5 (convergindo ao mesmo valor):
a3=1.4646,;f(a3)approx0.00173,;b3=1.5,;f(b3)=-0.231
Ambas as próximas estimativas dão
c4=c5approx1.4646
com variação desprezível em 4 dígitos. O método já estabilizou em 1.4646.

Resposta

A raiz aproximada, após 5 iterações e com 4 dígitos de precisão, é 1.4646.

Exercícios relacionados