Determine os zeros reais das funções:
f(x)=x^{6}-7 x^{3}-8
f(x)=x^{6}-7 x^{3}-8
Passo 1
O enunciado pede: determinar os zeros reais da função
.
Informações relevantes fornecidas: é um polinômio de grau , com termos apenas em potências de
(ou seja, só aparecem
,
e constante). A tarefa é encontrar todos os valores reais de
tais que
.
Informações relevantes fornecidas: é um polinômio de grau
Passo 2
Observação útil (explicação didática): quando um polinômio envolve apenas potências de
, é natural substituir
para reduzir o problema a um polinômio de grau menor. Fazemos a substituição:
Substituindo em
obtemos uma equação em
:
Agora resolvemos essa equação quadrática em
. Podemos fatorar procurando dois números cujo produto seja
e cuja soma seja
: esses números são
e
. Logo
Passo 3
Pela fatoração do passo anterior, as soluções para
são as raízes dos fatores:
Lembrando que
, voltamos à variável
e resolvemos as duas equações cúbicas simples:
Passo 4
Explicando como resolver
: a equação
tem exatamente uma raiz real, que é a raiz cúbica real de
. Portanto:
Essas são raízes reais. Para garantir que não existam outras raízes reais escondidas, podemos fatorar o polinômio original usando os valores de
:
Agora aplicamos a fatoração soma/diferença de cubos:
As quadráticas
e
têm discriminantes negativos:
Como os discriminantes são negativos, essas quadráticas não fornecem raízes reais. Portanto as únicas raízes reais do polinômio são as que vieram dos fatores lineares
e
, ou seja,
e
.
Passo 5
Resumo e reforço de método (para a prova): quando o polinômio depende apenas de
, faça a substituição
para reduzir a ordem. Resolva a equação em
, volte a
resolvendo equações do tipo
. Em seguida, se necessário, fatorize de volta para verificar multiplicidades e eliminar raízes complexas (checando discriminantes das quadráticas resultantes).