Determine os zeros reais das funções:
f(x)=x^{6}-7 x^{3}-8

Passo 1

O enunciado pede: determinar os zeros reais da função \,f(x)=x^{6}-7x^{3}-8\,.
Informações relevantes fornecidas: é um polinômio de grau \,6, com termos apenas em potências de \,x^{3} (ou seja, só aparecem \,x^{6}, \,x^{3} e constante). A tarefa é encontrar todos os valores reais de \,x tais que \,f(x)=0.

Passo 2

Observação útil (explicação didática): quando um polinômio envolve apenas potências de \,x^{3}, é natural substituir \,y=x^{3} para reduzir o problema a um polinômio de grau menor. Fazemos a substituição:
y = x^{3}.
Substituindo em \,f(x)=0 obtemos uma equação em \,y:
y^{2}-7y-8=0.
Agora resolvemos essa equação quadrática em \,y. Podemos fatorar procurando dois números cujo produto seja -8 e cuja soma seja -7: esses números são -8 e 1. Logo
y^{2}-7y-8=(y-8)(y+1).

Passo 3

Pela fatoração do passo anterior, as soluções para \,y são as raízes dos fatores:
y-8=0 \quad\Rightarrow\quad y=8,
y+1=0 \quad\Rightarrow\quad y=-1.
Lembrando que \,y=x^{3}, voltamos à variável \,x e resolvemos as duas equações cúbicas simples:
x^{3}=8,
x^{3}=-1.

Passo 4

Explicando como resolver \,x^{3}=a: a equação \,x^{3}=a tem exatamente uma raiz real, que é a raiz cúbica real de \,a. Portanto:
x^{3}=8 \quad\Rightarrow\quad x=\sqrt[3]{8}=2,
x^{3}=-1 \quad\Rightarrow\quad x=\sqrt[3]{-1}=-1.
Essas são raízes reais. Para garantir que não existam outras raízes reais escondidas, podemos fatorar o polinômio original usando os valores de \,y:
x^{6}-7x^{3}-8=(x^{3}-8)(x^{3}+1).
Agora aplicamos a fatoração soma/diferença de cubos:
x^{3}-8=(x-2)(x^{2}+2x+4),
x^{3}+1=(x+1)(x^{2}-x+1).
As quadráticas x^{2}+2x+4 e x^{2}-x+1 têm discriminantes negativos:
\Delta_{1}=2^{2}-4\cdot1\cdot4=4-16=-12<0,
\Delta_{2}=(-1)^{2}-4\cdot1\cdot1=1-4=-3<0.
Como os discriminantes são negativos, essas quadráticas não fornecem raízes reais. Portanto as únicas raízes reais do polinômio são as que vieram dos fatores lineares (x-2) e (x+1), ou seja, x=2 e x=-1.

Passo 5

Resumo e reforço de método (para a prova): quando o polinômio depende apenas de \,x^{3}, faça a substituição \,y=x^{3} para reduzir a ordem. Resolva a equação em \,y, volte a \,x resolvendo equações do tipo \,x^{3}=y_0. Em seguida, se necessário, fatorize de volta para verificar multiplicidades e eliminar raízes complexas (checando discriminantes das quadráticas resultantes).

Resposta

x=2
x=-1

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